Aktuální vydání

celé číslo

07

2020

Řízení distribučních soustav a chytrá města

Měření a monitorování prostředí v budovách a venkovním prostředí

celé číslo

Principy fyzikální podobnosti a modelování v identifikaci soustav

číslo 12/2004

Principy fyzikální podobnosti a modelování v identifikaci soustav

(dokončení z čísla A 10/2004)

4. Fyzikální modelování

4.1 Modelové zákony
Fyzikální modelování je založeno na skutečnosti, že fyzikálně podobné jevy či zařízení popisují stejné rovnice, důsledkem čehož jsou i stejné bezrozměrné argumenty podle (6b). Modelové zákony, uvádějící do vztahu parametry modelu a originálu (či jinak řečeno díla), které vystupují v závislosti (1), jsou dány rovností jednotlivých bezrozměrných argumentů modelu (značeny hvězdičkou) a díla:

Obr. 1.

p1* = p1, p2* = p2 ... pn – r* = pn – r               (7)

Existuje-li n veličin či parametrů problému transformovaných obecně do (n – r) bezrozměrných argumentů (obvykle r = 4 – viz 3.3), vystupuje (n – r) modelových zákonů, v nichž lze r nezávisle proměnných veličin libovolně volit jako modelové konstanty. Zbývající neznámé modelu se pro dané parametry originálu vypočítají z modelových zákonů (7).

Volbou modelových konstant lze příznivě ovlivnit zejména navrhování fyzikálního modelu – je vhodné, aby modelovými konstantami byly parametry (nezávisle proměnné) těžko nebo draze realizovatelných či měnitelných součástí modelu. Optimálně vyjádřené bezrozměrné argumenty pak mají mít, podle možností, formu součinů skupiny modelových konstant (např. A*, C*, D* a F*) a vždy jedné z ostatních veličin z (1), nejlépe v první mocnině (např. C*·D*2·B*, A*–1/3·C*·D*3·E* nebo A*–2/3·C*·F*·N*). Přitom hodnota nezávisle proměnných veličin by měla být, na rozdíl od modelových konstant, snadno či snadněji přestavitelná, včetně přestavitelnosti výrobními zásahy. Velikost každého z nezávisle proměnných bezrozměrných argumentů v (2) lze v tom případě ovládat málo nebo méně náročnými změnami hodnoty pouze jedné nezávisle proměnné veličiny (v uvažovaném příkladě pomocí B*, E*, G* atd.) – řídící veličiny, což u fyzikálních modelů podstatně zjednoduší stavbu a experimentální ověřování. Dále, ze závisle proměnného argumentu, formulovaného popsaným způsobem, lze vyhodnotit sledovanou závisle proměnnou veličinu velmi jednoduše.

Obr. 2.

Obr. 2. (1 – řízený zdroj stejnosměrného napětí s řídicím vstupem 11, 2 – komutační transformátor, 3 – generátor řídicí frekvence s řídicím vstupem 31, 4 – vinutí elektromotoru z obr. 1, M vzájemná indukčnost)

Na formulaci bezrozměrných argumentů příznivých pro model se musí myslet již při rozměrové analýze problému (viz 3.3). Stanoví se referenční veličiny, které budou korespondovat s vhodnými modelovými konstantami.

Někdy nelze popsaný přístup uplatnit (např. když by z předpokládaných modelových konstant bylo možné sestavit bezrozměrný argument), a musí se volit řešení spojené s nejmenšími obtížemi.

Jsou případy, kdy z fyzikálních důvodů není možné modelové zákony respektovat v celém rozsahu. Jako příklad lze uvést úkol, u nějž by pro daný materiál modelové zákony předepisovaly jistou elektrickou vodivost a jistou hustotu. Může se stát, že materiál s požadovanou kombinací obou vlastností se v přírodě nevyskytuje. V podobných situacích lze docílit pouze přibližné fyzikální podobnosti a je možné jen přibližné modelování. Míru přípustného zanedbávání a přibližností je nutné posoudit s přihlédnutím k jejich možnému vlivu na výsledky. To předpokládá určité zkušenosti.

Dalšími omezeními u modelu jsou nepřekročitelnost mezní velikosti bezrozměrných argumentů, obsahujících limitované veličiny (např. napětí, proud a frekvenci u indukčního elektromotoru, rychlost otáčení u stejnosměrného elektromotoru, minimální realizovatelný moment setrvačnosti u poháněného zařízení apod.).

Obr. 3.

4.2. Podobnostní moduly
Mimo fyzikální veličiny podle (1), jednoznačně popisující sledovaný děj či ověřované zařízení, přicházejí v úvahu i další, od nich odvozené veličiny. Například činný výkon Pj na činném odporu Rj bude Pj = Rj·Ij2 (když Ij je proud větví s odporem Rj) – je funkcí jistého proudu vystupujícího jako jedna z veličin v (1); podobně to platí o napětích na jednotlivých prvcích elektrických obvodů, momentech síly na jednotlivých prvcích mechanických obvodů atd. Jelikož i rozměry odvozených veličin lze vyjádřit základními obecnými rozměry L, M, T a I, je možné souvislosti mezi všemi veličinami originálu a modelu jednoduše stanovit též pomocí měřítek těchto rozměrů. Těmito měřítky jsou čtyři podobnostní moduly, dané poměry základních obecných rozměrů originálu a modelu:

l = L/L*, m = M/M*, t = T/T*, i = I/I*               (8)

Podobnostní moduly lze nejvhodněji odvodit z poměrů referenčních veličin originálu, které na originálu odpovídají zvoleným modelovým konstantám, a modelových konstant. S veličinami z (1), používanými v předchozích příkladech, lze např. pro i psát i = (A/A*)·(C*2/C2)·(F1/2/F*1/2) apod. Jednotlivé veličiny se potom z modelu na originál (příp. z originálu na model) přepočítají vynásobením (popř. vydělením) převodovým součinitelem, nalezeným jako součin podle příslušných exponentů povýšených příslušných podobnostních modulů (8). Pro poměr X/X* libovolné veličiny X originálu a X* modelu se její převodový součinitel snadno určí pomocí tab. 1, a to po dosazení l, m, t a i za její obecné základní rozměry L, M, T a I ve čtvrtém sloupci.

Obr. 4.

Jestliže v řešeném problému nefiguruje geometrická podobnost (viz zmínku v 3.3), nevede soustava (8) na jednoznačnou formulaci všech čtyř modulů. Jeden z modulů, zpravidla l nebo m, může mít libovolnou hodnotu (např. vyjde l2·m = D/D* apod.). Tato neurčitost nikdy není na újmu jednoznačnosti výpočtu převodových součinitelů jednotlivých veličin, neboť neurčitý modul vypadne.

Je zřejmé, že vztahy mezi veličinami z (1) na originálu a na modelu, interpretované v kap. 3.4 formou modelových zákonů (7), jsou ekvivalentní převodům pomocí modulů.

5. Experimentální řešení rovnice bezrozměrných argumentů

Účelem modelového vyšetřování (fyzikálního i matematického) obvykle bývá buď ověření správnosti funkce navrženého zařízení, nebo jeho identifikace kvantifikací závislosti (6b), spočívající v nalezení tabelárně či analyticky vyjádřené empirické funkce, která umožňuje při zadaných nezávisle proměnných bezrozměrných argumentech stanovit závisle proměnný argument. V prvním případě postačí realizovat a vyzkoušet model, druhý případ vyžaduje experimentální řešení rovnice (6b) v podobě

pn – r = y´´(p1, p2, p3... pn – r – 1)               (9)

a to jestliže, v souladu s příkladem v 3.3, je bezrozměrný argument pn – r pokládán za závisle proměnný.

Při experimentálním řešení (9) je třeba nalézt hodnoty závisle proměnného argumentu pn – r v definičních oborech všech nezávisle proměnných argumentů. Postup je obdobný postupu ve zmínce o vyhodnocování modelů v kapitole 2. Nepracuje se však s veličinami, nýbrž s bezrozměrnými argumenty. Vede to na dílčí výsledky typu např.

pn – r = c (pn – r – 1), p1 = konst., p2 = konst. ... pn – r – 2 = konst.               (10)

Obr. 5.

kde c je funkční znamení, pn – r – 1 namátkou vybraný argument a kde se argumenty – parametry p1, p2, p3... vystřídaly ve všech variantách svých hodnot měněných po inkrementech jako konstanty.

Dílčí výsledky (10) lze podrobit matematické analýze a zpracovat je některým ze známých postupů vyhodnocení experimentálních údajů (viz např. [7]). Cílem je nalezení analytického vyjádření závislosti y´´ podle (9). Výhodná je metoda s použitím tzv. argumentových funkcí, ukázaná v [8] a rozvedená v [9].

Hledaná hodnota sledované závisle proměnné veličiny modelu či originálu (vyšetřuje-li se fyzikální jev či zařízení) se potom stanovuje ze závisle proměnného argumentu v (9) výpočtem po dosazení těch nezávisle proměnných veličin z (1), které jej definují. Zpravidla to bývají modelové konstanty či referenční veličiny (viz 4.1). Například nechť, obdobně jako v dříve uváděných příkladech, platí třeba pn – r = A–3/2·D·F2·N, z toho N = pn – r·A3/2·D–1·F–2 (zde pro originál nějakého zařízení).

6. Jednoduché příklady použití metody

6.1 Identifikace v elektromechanické soustavě
Příklad souvisí s optimalizací řízení proudu kmitavého lineárního pohonu velkého rezonančního stroje ke třídění hromadných materiálů, který se chová jako nelineární zátěž pohonu. Elektromotor pohonu (obr. 1) je napájen ze sériového laděného střídače s napěťově řízeným vstupem (obr. 2). Časový průběh nespojité odezvy napájecího proudu i(t) na spínání vstupního napětí U1 tyristory V závisí na tomto napětí a dále na indukčnostech La a Lk vinutí elektromotoru a komutačního transformátoru, kapacitě C, činiteli A mechanoelektrické transformace parametrů zátěže (viz např. [5]) a řídící frekvenci fd. Obr. 6. Bude tedy n = 8, r = 3 (jako obvykle v podobných případech), takže (n – r) = 5. Problém popisuje obecná rovnice bezrozměrných argumentů p5 = y (p1, p2, p3, p4), v níž p1 = LaCfd2, p2 = Lk/La, p3 = A/(Lafd), p4 = tfd a p5 = iLafd/U1.Část typických výsledků je patrná z obr. 3, znázorňujícího průběhy p5 = 2,1·10–3i v závislosti na p4 = 13t při p1 = 1,055·10–2 a p2 = 0,8, přičemž p3 = 5,8 (graf a), 8,7 (graf b) a 10,2 (graf c). Z toho i = p5/2,1·10–3 a t = p4/13.

6.2 Identifikace v pneumatické soustavě
U rychloběžného tlakového zdroje podle obr. 4 je třeba najít závislost tlakového rozdílu Dp, vznikajícího ve štěrbině B mezi pevnou rovinou A se soustředným vstupem O chladiva a rotující kruhovou stěnou T, na rozhodujících veličinách. Jsou jimi hustota r a dynamická vazkost n chladiva, obvodová rychlost vd rotující stěny T při rychlosti otáčení n, střední rychlost vb průtoku chladiva hydraulickým průřezem štěrbiny B na obvodě d a geometrické parametry vyznačené v obr. 4. Zřejmě n = 8, též zde r = 3, takže bude (n – r) = 5. Problém pak lze popsat rovnicí bezrozměrných argumentů p5 = y (p1, p2, p3, p4), kde p1 = dvd/n, p2 = 2bvb/n, p3 = b/D, p4 = d/D a p5 = Dp/(rvd2). Pohled na modelové uspořádání je na obr. 5, obr. 6 ukazuje výsledky jednoho z dílčích měření, jejichž soubor posléze posloužil ke kvantifikaci závislosti p5 na ostatních (nezávisle proměnných) argumentech. Takto nalezená empirická funkce (zde ji není třeba uvádět) umožňuje stanovení tlakového rozdílu Dp = rvd2p5 v uspořádání podle obr. 4 (viz např. obr. 7 s průběhem Dp pro vzduch při D = 0,085 m, d = 0,495 m, b = 0,03 m a n = 25,05 s–1 vyneseným v závislosti na průtočném množství Q = npdp2, kde p je Ludolfovo číslo.

Obr. 7.

7. Závěr

V práci byly objasněny základní principy fyzikální podobnosti a modelování, především fyzikálního. Některé podněty je možné s výhodou uplatnit i u matematického modelování, je-li opřeno o popisy metodou bezrozměrných argumentů. Zpracování tematiky přihlíží k poměrům při identifikaci elektromechanických, pneumatických a hydraulických soustav. Problematika je podána formou přístupnou širšímu okruhu odborníků i dalších zájemců z automatizační praxe.

K případnému podrobnému seznámení se s konkrétními postupy při aplikaci popisované metodiky lze čtenáře odkázat např. na práce [10], [11], popř. na již zmiňované prameny [7], [8], [9].

Předložené poznatky přístupnou formou objasňují základy jedné z významných metod fyzikálního, v některých směrech i matematického modelování. Přibližují možnost racionální identifikace soustav na modelech i vyrobených zařízeních.

Literatura:

[1] KOŽEŠNÍK, J.: Fyzikální podobnost a stavba modelů. Jednota čs. matematiků a fysiků, Praha, 1948.

[2] JIRÁNEK, M.: Zákony mechanické podobnosti (teorie modelů). Technický obzor, 1946, 54, č. 15-16, s. 172–177, a č. 17, s. 191–197.

[3] LANGHAAR, L. P.: Dimensional Analysis and Theory of Models. John Wiley, New York, 1954.

[4] KOŽEŠNÍK, J.: Základy teorie přístrojů. SNTL/ALFA, Praha – Bratislava, 1987.

[5] ROUBÍČEK, O.: Využití duálních liniových schémat v elektromechanice. Elektro, 2002, 57/90, č. 8-9, s. 76–78.

[6] HEŘMAN, J.: Mezinárodní soustava jednotek SI. Ročenka Elektro 2000. FCC Public, Praha, 2000, s. 48-54.

[7] REKTORYS, K. a kol.: Přehled užité matematiky. SNTL, Praha, 1968.

[8] ROUBÍČEK, O.: Výfuková tlaková charakteristika štěrbiny s rotující stěnou. Strojírenství, 1962, 32, č. 9, s. 669–676.

[9] ROUBÍČEK, O.: Théorie et description d´une méthode pour l´exploration expérimentale de la caractéristique de pression des éléments des circuits de ventilation des machines électriques. Acta Technica ČSAV, 1965, 10, No. 1, pp. 30–57.

[10] ROUBÍČEK, O.: Modelové řešení tyristorového střídače. Elektrotechnický časopis, 1969, 20, č. 8, s. 566–578.

[11] ROUBÍČEK O.: Application de la similitude physique ‘a la solution par le moyen de la simmulation d´un ondu-leur ‘a thyristors. RGE, 1973, 82, No. 9, pp. 521–526.

Ing. Ota Roubíček, DrSc.,
Mechatronika Praha

Inzerce zpět