Aktuální vydání

celé číslo

10

2019

Automatizace v chemii a petrochemii

Hladinoměry

celé číslo

Modelování a identifikace komponent systému centrálního zásobování teplem

Článek přibližuje důvody a způsob použití moderních nástrojů pro matematické a fyzikální modelování Matlab® a Comsol Multiphy­sics® k nepřímé identifikaci tepelného výměníku jako významné komponenty systémů centrálního zásobování teplem. Představu­je verifikovaný fyzikální model, jehož existenci nepřímá metoda identifikace předpokládá.
 
V současnosti je v popředí zájmu inteligentní dodávka energií, tj. tepla a elektřiny, spočívající v optimálním řízení okamžitého výko­nu zdrojů s kombinovanou výrobou tepla a elektřiny a v řízení výro­by, rozvodu a spotřeby energií inteligentními řídicími systémy. Tep­lo se přitom rozvádí prostřednictvím systémů centrálního zásobování teplem (SCZT), tj. geograficky rozlehlými sítěmi teplovodů a výmě­níkových stanic zajišťujícími dopravu tepla od jeho zdrojů na místa koncové spotřeby. Jde o systémy dynamické, u nichž se v čase mění skladba zdrojů i míst koncové spotřeby. Není pochyb o tom, že z hlediska technic­kého, ekonomického i ekologického je ce­lospolečensky žádoucí co možná nejvyšší kvalita řízení systémů CZT.
 

Inteligentní řízení SCZT s použitím modelů

 
Hospodárné řízení subsystému výroby a využití tepelné energie spočívá jednak v hospodárném rozdělování zatížení mezi jednotlivé spolupracující zdroje a mezi jed­notlivé výrobní jednotky uvnitř těchto zdro­jů a jednak v určení vhodné sestavy spolu­pracujících zdrojů, včetně určení vhodné skladby spolupracujících jednotek uvnitř zdroje, jakož i v určení vhodného ekono­micky podloženého spouštění či odstavo­vání jednotlivých výrobních jednotek, popř. i celých zdrojů.
 
Ke zvládnutí uvedené úlohy je třeba vytvořit komplexní matematicko-fyzikál­ní model rozlehlých teplárenských horko­vodních i parních sítí a výrobních zdrojů tepla, který umožní najít nové nekonvenční řídicí algoritmy potřebné k optimálnímu – ze zmíněných hledisek technického, eko­nomického a ekologického – řízení komplexního dodavatelského ře­tězce výroba, doprava + rozvod a spotřeba tepla zejména rozlehlých teplárenských soustav. Postup tvorby a způsob využití komplexního modelu SCZT jsou schematicky naznačeny na obr. 1. Cesta ke kom­plexnímu modelu vede přes modely jednotlivých prvků SCZT.
 
Systém CZT obsahuje, kromě zdroje tepla, celkem tři tyto základ­ní skupiny prvků:
  • předávací výměníkové stanice,
  • primární a sekundární potrubní síť,
  • odběratelský segment, tj. systém topných těles (radiátorů).
Vlastnosti zmíněných základních prvků mají vliv na procesy dis­tribuce a spotřeby tepelné energie. Stav jednotlivých prvků SCZT je třeba ovlivňovat (řídit) tak, aby bylo dosaženo požadovaného opti­málního chování celého systému. K tomu je nutné znát stavy (hod­noty parametrů) jednotlivých prvků SCZT, resp. jejich odhady – což znamená prvky identifikovat.
 
Identifikovat je třeba především nejvýznamnější prvky (kompo­nenty) SCZT z již uvedených základní skupin, tedy:
  • tepelný výměník jako hlavní komponentu výměníkové stanice,
  • potrubí,
  • typické topné těleso (radiátor ústředního topení).
Při identifikaci reálných komponent je třeba měřit, a v tomto ohle­du se v rozlehlých SCZT v praxi naráží na značné potíže.
 
Zdroji těch­to potíží jsou některé obecné vlastnosti (měřicích) systémů. Jde pře­devším o tyto jevy:
  • dynamické vlastnosti měřicího systému,
  • interakci měřicího systému s okolím (mechanická, tepelná a elek­tromagnetická kompatibilita),
  • nelinearitu měřicího systému,
  • historickou závislost, tj. změny vlastností měřicího systému v čase.
Východisko se zde nabízí v podobě použití nepřímé metody iden­tifikace prostřednictvím fyzikálního modelu, který je verifikován s po­užitím modelu matematického.
 
Další text bude omezen na ukázku způsobu tvorby obou modelů v případě tepelného výměníku jako nejdůležitější komponenty SCZT z hlediska řízení systému. Fyzikální model výměníku byl vytvořen při použití programu Comsol Multiphysics a matematický (simulační) model při použití nástroje Matlab Identification Toolbox.
 
Poznamenejme, že při identifikaci a návrhu algoritmů řízení SCZT jako celku se z nástrojů obsažených v prostředí Matlab od firmy The MathWorks vedle již uvedeného nástroje Identification Toolbox dále uplatní nástroje Simulink a Control Toolbox, jak také ukazuje obr. 1.
 

Fyzikální model výměníku tepla

 
Fyzikální model je zdrojem údajů pro stanovení hodnot parametrů matematického modelu vybrané komponenty SCZT, v daném případě jednoduchého trubkového výměníku s geometrií podle obr. 2 tab. 1.
 
K určení fyzikálního modelu výměníku tepla je potřebné nalézt řešení soustavy rovnic, které popisují proudění teplonosného média a přenos tepla uvnitř tohoto média v prostoru a v čase. Fyzikální děje ve výměníku tepla lze popsat s použitím Fourierovy-Kirchhoffovy rovnice a Navierovy-Stokesovy rovnice.
 
Fourierova-Kirchhoffova rovnice pro výměník tepla má tvar
 
rovnice (1)
 
kde
Cpje měrná tepelná kapacita látky při konstantním tlaku,
Q reprezentace vnitřních zdrojů: Q(x, y, z) = 0,
T reprezentace teplotního pole (skalárního),
k tepelná vodivost látky (obecně tenzor, jinak u homogenních lá­tek skalár),
v reprezentace rychlostního (vektorového) pole,
t čas,
x, y, z prostorové souřadnice,
ρ hustota látky (např. teplonosné médium nebo materiál stěny vý­měníku).
 
Předpokládá se, že vnější plášť výměníku je ideálně izolovaný od okolí, takže platí skalární vztah
 
rovnice (2)
 
kde n0 je jednotkový normálový vektor.
 
Stěna výměníku oddělující primární okruh (médium 1) od sekun­dárního okruhu (médium 2) vyhovuje podmínkám kontinuity vedení tepla. Tato podmínka odpovídá rovnici
 
rovnice (3)
 
Okrajové podmínky na vstupu primárního a sekundárního mé­dia jsou
 
rovnice (4)
 
Okrajové podmínky na výstupu primárního a sekundárního mé­dia odpovídají okamžité hodnotě tepelného toku v daném místě, což odpovídá rovnici
 
rovnice (5)
 
Při přenosu tepla mezi primárním a sekundárním médiem v tepel­ném výměníku se dominantně uplatňuje nucená konvekce. K Fourierově-Kirchhoffově rovnici (1) je tudíž nutné připojit rovnici spoji­tosti a rovnice popisující proudění teplonosného média. V případě proudových polí s malými rychlostmi proudění je s ohledem na ka­pacitu paměti výpočetních prostředků přípustným kompromisem po­užít Navierovu-Stokesovu rovnici
 
rovnice (6)
 
kde
v je vektor rychlosti pohybu teplonosného média ve výměníku,
vx, vy, vzsložky vektoru rychlosti v,
F(x, y, z) síla působící na jednotku objemu tekutiny (F = 0).
 
Průběh vektoru rychlosti teplonosného média je počítán při zacho­vání podmínky kontinuity
 
rovnice (7)
 
Předpokládá se, že vnější plášť i primární a sekundární potrubí vý­měníku jsou dokonale těsné a že teplonosné médium nikde neuniká, tj. jeho hmotnostní tok mezi primárním a sekundárním okruhem je konstantní a rovný nule. Z toho plyne okrajová podmínka, podle kte­ré rychlost pohybu média v této části výměníku je rovna nule, tedy
 
v (x, y, z) = 0          (8)
 
Okrajové podmínky na vstupu primárního a sekundárního média jsou určeny konstantními rychlostmi proudění tekutiny
 
v(t, x, y, z) = v11, v11 = 1 m·s–1
v(t, x, y, z) = v12, v12 = 2 m·s–1          (9)
 
Okrajové podmínky na výstupu primárního a sekundárního média odpovídají podmínkám při konstantním tlaku p média při nulovém viskózním napětí, tedy platí
 
p(t, x, y, z) = p21, p21 = 2,1 MPa
p(t, x, y, z) = p22, p22 = 1 MPa          (10)
 
Řešení soustavy rovnic (1) a (6) při specifikovaných okrajových podmínkách (4) až (5) a (7) až (9) pro rozložení teploty v čase a pro­storu pro výměník podle obr. 1 tab. 1 je znázorněno na obr. 3. Roz­ložení rychlostního pole ukazuje obr. 4.
 

Simulační model výměníku tepla

 
Simulační model je založen na řešení matematického modelu v po­době stavové maticové lineární diferenciální rovnice ve tvaru
 
ds/dt = A(r) s(t) + B(r)ur(t)        (11)
 
kde
s(t) je stavový vektor matematického modelu,
ur(t) vstupní veličina v podobě teploty na vstupu sekundárního okruhu,
r pracovní bod daný teplotou v primárním okruhu výměníku.
 
Pro výstupní veličinu matematického modelu, kterou je teplota média na výstupu sekundárního okruhu yT(t), platí
 
yT(t) = C(r)s(t)          (12)
 
Matice A(r), B(r) a C(r) jsou závislé na parametru, který je určen pra­covním bodem výměníku tepla. Pracovní bod výměníku je určen rych­lostí toku v(t) a teplotou T(t) média v primárním okruhu. Matice mate­matického modelu (11) byly identifikovány s fyzikálním modelem, jehož pohyb byl vypočítán na základě řešení soustavy parciálních diferenciál­ních rovnic (1) a (6) s uvážením příslušných počátečních a okrajových podmínek (viz výše). Identifikace matematického modelu byla prováděna na dané množině pracovních bodů výměníku tepla. Výsledky identifikace jsou ukázány na obr. 5 obr. 6, kde jsou zobrazeny průběhy výstupních teplot média ze sekundárního okruhu fyzikálního a matematického mo­delu a průběhy chyb identifikace v podmínkách hraničních pracovních bodů, kdy rychlost proudění média v primárním okruhu je v11(t) = 1 m·s–1 a teplota média v primárním okruhu je T11(t) = 353,15 K, popř. 390 K.
 
Matice matematického modelu určeného rovnicemi (11) a (12) pro pracovní bod r1 odpovídající hodnotám fyzikálních veličin primární­ho okruhu T11 = 390 K, v11 = 1 m·s–1 mají podobu
 
rovnice (13)
 
Obdobné jsou matice pro pracovní bod r2 odpovídající hodnotám fyzikálních veličin primárního okruhu T11 = 353,15 K, v11 = 1 m·s–1, které pro omezený rozsah článku již nejsou uvedeny.
 

Závěr

 
Funkce výměníku tepla je založena na pohybu tekutiny, který má nelineární charakter. Pro vypracování návrhu algoritmu řízení, popř. identifikace stavu výměníku tepla je potřebné navrhnout model po­pisující dynamické vlastnosti výměníku. Většina algoritmů řízení, popř. identifikace algoritmů využitelných v praxi je založena na li­neární teorii řízení, popř. identifikace. Je proto vhodné nalézt takový model, který bude lineární v určité oblasti blízko pracovního bodu. Pohyb nelineárního fyzikálního modelu tak může být aproximován matematickým modelem, jehož vlastnosti jsou závislé na volbě para­metru. Parametr matematického modelu je určen pracovním bodem fyzikálního modelu výměníku tepla. Předpokladem takové aproxima­ce je verifikovaný fyzikální model představený v článku.
 
Poděkování
V článku jsou uvedeny výsledky získané v rámci řešení projektu MŠMT ČR Národního programu výzkumu II s názvem Informační technologie pro znalostní společnost (2C), evid. č. 2C06007.
 
Literatura:
[1] BROGAN, W. L.: Modern Control Theory. Prentice Hall Inc., 1991.
[2] REDDY, J. N. – GARTLING, D. K.: The Finite Element Method in Heat Transfer and Fluid Dynamics. CRC Press, 2000.
[3] HUEBNER, K. H. – DEWHIRST, D. L. – SMITH, D. E. – BYROM, T. G.: The Finite Element Method for Engineers. John Wiley & Sons Inc., 2001.
Ing. Jiří Marek, CSc.,
 
Obr. 1. Struktura procesu identifikace a řízení soustavy CZT
Obr. 2. Geometrie uvažovaného trubkového průtokového výměníku
Obr. 3. Rozložení teplot podle fyzikálního modelu (Comsol Multiphysics)
Obr. 4. Rozložení rychlosti podle fyzikálního modelu (Comsol Multiphysics)
Obr. 5. Časový průběh teploty na výstupu sekundárního okruhu fyzi­kálního T22F matematického modelu T22M absolutní chyby identifikace e(t) při pracovním bodu T11= 1 m·s–1= 390 K, v11(t) a(t) a
Obr. 6. Časový průběh teploty na výstupu sekundárního okruhu fy­zikálního T22F matematického modelu T22M absolutní chyby identifikace e(t) při pracovním bodu T11= 1 m·s–1= 353,15 K, v11(t) a(t) a
 

Tab. 1. Rozměry uvažovaného trubkového výměníku