Aktuální vydání

celé číslo

12

2021

Automatizace v chemickém a petrochemickém průmyslu

Průtokoměry a regulační ventily

celé číslo

Dopravně závislé řízení silničního provozu ve městech (1. část)

Dopravně závislé řízení silničního provozu ve městech (1. část)

Ivan Nagy, Jitka Homolová, Pavla Pecherková

Článek se zabývá problematikou automatického zpětnovazebního řízení dopravy ve městech. Základní jednotkou pro řízení je dopravní mikrooblast, tvořená několika světelně řízenými křižovatkami a opatřená přístroji měřícími charakteristiky dopravního proudu s využitím detektorů. Tato mikrooblast je popsána stavovým modelem, kde stav je tvořen délkami kolon v ramenech křižovatek a vstupními obsazenostmi. Model je odhadován za použití Kalmanova filtru a použit pro řízení. K optimalizaci byla zvolena metoda lineárního programování; jejím výsledkem je nastavení světelných znaků světelných signalizačních zařízení, přičemž kritérium řízení zaručuje minimum váženého součtu délek kolon v mikrooblasti.
Hierarchicky výše stojí nadřazené řízení, které koordinuje činnost jednotlivých mikrooblastí ve větší dopravní oblasti.

1. Úvod

Problémy s dopravou ve městech jsou známy. Intenzita dopravy v městské síti nabývá hodnot saturovaných toků, což vede k tvorbě kolon. V důsledku toho se prodlužuje cestovní doba individuální automobilové dopravy i doba přepravy městskou hromadnou dopravou (MHD). Je několik možností, jak tento problém řešit.

První z nich je zvýhodnění MHD před individuální automobilovou dopravou (IAD). Takováto zvýhodnění se nazývají preference MHD. Patří sem např. preference tramvají na řízených křižovatkách, kdy po průjezdu tramvaje detekčním prvkem řadič křižovatky tramvaj upřednostní v nejbližším možném časovém okamžiku. Dále je to preference vyjádřená dopravním značením, popř. změnou dopravního režimu (např. vyhrazené jízdní pruhy pro autobusy MHD), a preference využívající stavební úpravy, včetně úprav zastávek (např. oddělovací tvarovky tramvajových tratí apod.). To však situaci s narůstáním kolon IAD nezlepšuje, právě naopak.

Druhou možností, jak řešit daný problém, jsou stavební úpravy komunikací. Znamená to rozšiřování komunikací, výstavbu mimoúrovňových křižovatek a městských obchvatů, odvádějících přebytečnou dopravní zátěž mimo centrální část měst. Toto je sice účinné řešení, ale velmi drahé a mnohde nepoužitelné. Ve velkých historických městech, kterých je u nás mnoho, jsou komunikace vedeny v ulicích, které vznikaly před dlouhou dobou a nebyly koncipovány na současné zatížení a objem dopravy. Avšak historická zástavba je natolik cenná, že většinou není přípustné ji měnit ve prospěch rozšíření a vylepšení místních komunikací.

Třetí možností je průběžná (on-line) optimalizace řízení dopravního provozu. V tomto případě to znamená řízení s využitím světelných znaků u světelných signalizačních zařízení (SSZ) křižovatek městských komunikací. Aby toto řízení bylo účinné, je třeba jej stanovit v závislosti na okamžité dopravní situaci ve strategických místech dopravní oblasti, tzn. na všech ramenech řízených křižovatek. Cílem takového řízení je minimalizovat tzv. dobu zdržení řidiče při cestě řízenou dopravní oblastí.

Je zřejmé, že tak palčivý problém jako řízení dopravy ve městech je úloha, kterou se nezabýváme pouze u nás. Pokouší se ji vyřešit mnoho pracovišť ve všech vyspělých zemích světa. Ale realita v řízení dopravy je zatím všude dosti podobná: řízení dopravy je statické, založené na pevných signálních plánech s pevným nastavením signálu „volno“ (dále jen „zelená“) či signálu „stůj“ (dále jen „červená“) na SSZ. Někdy může být použito několik signálních plánů, které se střídají podle pevného harmonogramu. Toto uspořádání zhruba vyhovuje potřebám jednotlivých denních období, avšak počítá jen s typickými situacemi. Kromě tohoto globálního způsobu řízení se také používá určitá „lokální inteligence“ křižovatek v jejich dynamickém (zpětnovazebním) řízení. Tento postup spočívá většinou v tom, že když je v jízdním pruhu ve směru do křižovatky detekován provoz (přítomnost vozidel), je prodloužen zelený signál o pevně daný inkrement. Signál se prodlužuje až do dosažení maximální délky zelené podle výchozího signálního plánu. Jestliže však v daném časovém rozmezí není v jízdním pruhu detekováno žádné vozidlo, zelený signál je pro danou signální skupinu (tj. jízdní pruhy) ukončen ve prospěch následující.

Řízení dopravy ve městech, odvozené od aktuálně měřených údajů, je značně složité. Důvodem jsou saturace (kdy intenzita dopravy je vyšší než kapacita dopravní sítě), které ve městech vznikají v ranních a odpoledních špičkách velmi často. Zůstává tedy jen minimální volný manévrovací prostor pro řídící zásahy, tedy ani optimálním řízením nelze takovou dopravní situaci radikálně zlepšit. Proto se většina odborníků ve světě zaměřuje na jednodušší problém, kterým je řízení provozu na dálnicích, zejména na dálničních přivaděčích. Tady jsou jízdní pruhy dostatečně dlouhé na to, aby se mohlo úspěšně předpokládat, že nikdy nebudou zcela zaplněny. Měřit je potom vždy možné v místech, kam kolona ještě nedosáhla, a vždy zůstává volný prostor pro řídící zásahy.

2. Formulace úlohy

Jako sledovaný a řízený systém uvažujme dopravní mikrooblast, tj. logicky vymezenou část městské dopravní sítě s několika světelně řízenými křižovatkami a s měřením indukčními detektory. Cílem úlohy na lokální úrovni je vhodným nastavením světelných znaků dosáhnout minima váženého součtu délek kolon v této mikrooblasti. Nadřazená úroveň řízení bere v úvahu i sousední mikrooblasti a koordinuje jejich činnost tak, aby nedocházelo k jejich negativnímu vzájemnému ovlivňování. To zajišťuje tak, že udržuje rovnoměrnost dopravní zátěže mezi jednotlivými mikrooblastmi.

Komentář k formulaci úlohy:

  • Optimální nastavení světelné signalizace bude v čase proměnné a bude reagovat na okamžitý stav dopravy. Informace o stavu dopravy bude získávána z průběžně naměřených údajů.

  • Kritérium minimálních kolon je zvoleno jako kompromis mezi dopravními a technicko-výpočetními požadavky. Nejlepším dopravním kritériem, používaným pro posouzení kvality městské dopravy, je doba jízdy mezi pevně definovanými body. To je ale veličina, kterou nelze přímo měřit ani počítat. Při úvaze, že podstatnou část zdržení při jízdě ve městě představuje popojíždění v kolonách, lze předpokládat, že doba jízdy je v podstatě určena délkou kolon.

  • Volba lineárního kritéria pro dopravní řízení v mikroregionu umožňuje použití jednoduché a stabilní metody řízení. Nevýhodou je, že může docházet ke kompenzaci požadavků na jednotlivá ramena křižovatek. Z tohoto důvodu bylo kritérium zvoleno jako vážený součet délek kolon, kde váhy mohou být dopravně závislé. Nastavení vah však může být vnuceno dopravním operátorem, a být tak prostředkem k prosazení jeho speciálních záměrů, nebo může být využito při reakci na některé výjimečné stavy v dopravě (preference, havárie apod.).

2.1 Měření dat
Naše formulace řízení jako řízení zpětnovazebního se opírá o reálná data měřená on-line. Těmito daty jsou pro nás základní charakteristiky dopravního proudu měřené na indukčních detektorech umístěných na vybraných místech pod povrchem jízdních pruhů, a to ve většině ramen řízených křižovatek. Výstup detektoru má dvě úrovně: nula, jestliže je detektor volný, a jedna, jestliže nad detektorem projíždí vozidlo. Signál v čase je posloupnost různě širokých impulsů – každý impuls představuje jedno projíždějící auto a šířka impulsu vypovídá o okamžité rychlosti projíždějícího vozidla a jeho typu. Počet impulsů ve sledované době je roven počtu projetých vozidel a tento počet vztažený na jednotku času udává intenzitu dopravního proudu. Součet šířek jednotlivých impulsů ve sledovaném časovém intervalu dělený délkou tohoto intervalu určuje obsazenost, která je svým významem velmi blízká hustotě dopravního proudu.

2.2 Řízení
Řídící zásahy jsou doby zelených signálů. Doprava je SSZ řízena v určitém nastaveném cyklu, během kterého se vystřídají všechny kombinace signálů pro všechny signální skupiny, tj. pro celou křižovatku. Jednotlivé signály jsou ve fázích prostřídány způsobem, který maximalizuje průjezd vozidel s ohledem na bezpečnost. Vzhledem ke stavební úpravě a dopravní situaci je tedy počet fází navržen tak, aby byl minimalizován střet tzv. kolizních proudů, tedy takových, které se při průjezdu křižovatkou křižují. Nejjednodušším signálním plánem je ten, kdy se v cyklu střídají pouze dvě fáze – pro přímý a pro kolmý směr. K těmto základním fázím mohou přistupovat další fáze či mezifáze (např. pouze odbočení doleva). Poměr zelené pro daný cyklus je definován jako doba zelené v tomto cyklu dělená jeho délkou.

3. Dopravní model

Je-li třeba ovlivňovat délky kolon v řízených křižovatkách dopravní mikrooblasti, je nutné je nejprve „poznat“. Nejjednodušší cestou k poznání se zdá být měření. Ačkoliv se již začínají objevovat cesty, jak přímo měřit délky kolon (videodetekce a následná analýza obrazu, sledování polohy vybraných automobilů pomocí GPS apod.), jsou tyto metody prozatím značně finančně náročné a ne příliš spolehlivé (závislost na počasí apod.). Proto považujeme délku kolon za neměřenou veličinu a poznáváme ji prostřednictvím modelování. Z tohoto důvodu v základu našich úvah stojí model dopravní mikrooblasti.

Pro dosažení maximální jednoduchosti, která je zárukou použitelnosti výsledných algoritmů řízení v praxi, je model postaven na základě fyzikálních závislostí. První z nich, model kolony, říká, že kolona se prodlužuje s přijíždějícími vozidly a zkracuje s těmi, která z ní odjedou na zelenou.

Druhá závislost uvažovaná v modelu, model obsazenosti, je závislost obsazenosti měřené na strategickém detektoru na délce kolony. Tato závislost vychází ze skutečnosti, že konec kolony není ostře ohraničen a hustota vozidel postupně narůstá. Tento nárůst má přibližně lineární charakter.

Kombinací těchto dvou závislostí se získá model, který vypovídá o délkách kolon v závislosti na měřených veličinách (vstupní intenzita dopravního proudu, obsazenost, délka zelené na SSZ). Vzhledem k tomu, že ne všechny vstupní intenzity jsou měřeny (např. na vnitřních spojovacích komunikacích v mikrooblasti), ne všechny parametry modelu jsou zcela přesné (např. saturovaný tok, což je maximální počet vozidel, který může projet danou komunikací během jedné hodiny zelené), a dokonce některé parametry jsou časově proměnné (např. odbočovací poměry v křižovatkách), je model pod vlivem neurčitosti a hodnoty kolon nelze jednoduše vypočítat, je třeba je předpovídat. Tyto předpovědi se potom využívají pro výpočet vlastního řízení.

3.1 Značení
Při zápisu matematického modelu pro popis dopravní mikrooblasti bude vodítkem toto značení:

  • t značí diskrétní časový okamžik, ve kterém je sledován systém a jsou měřena data,
  • xt označuje vzorek (měření) veličiny x v čase t.

3.2 Model kolony
Model kolony v závislosti na příjezdech a odjezdech vyjadřují tyto rovnice

ξt+1 = ξt + It - Szt          (1)

ξt+1 = (1 - zt)It

kde ξt je délka kolony v čase t; a podobně pro čas t + 1, (počet vozidel/doba cyklu), It vstupní intenzita (počet vozidel/doba cyklu), S saturovaný tok (počet vozidel/doba cyklu), zt poměr zelené (%) v čase t.

Rovnice (1) platí v případě, že v jednom cyklu, tj. během jedné zelené, nestačí projet všechna vozidla, která ke křižovatce přijedou. To nastane, když je v předchozím cyklu kolona příliš dlouhá nebo když je příjezdová intenzita příliš velká. V opačném případě platí rovnice (2). Ta vyjadřuje tu skutečnost, že kolona se v tomto případě vytváří pouze během červené. Obě rovnice se v modelu přepínají podle aktuálního stavu dopravy.

V modelu se předpokládá, že intenzita It je měřena na strategickém detektoru, který měří příjezd vozidel s minimálním zkreslením. To je ale pravda jen tehdy, když konec kolony detektor nikdy nepřekryje. Porušení tohoto předpokladu (buď proto, že kolony jsou dlouhé, nebo proto, že detektor neleží v dostatečné vzdálenosti) může být zdrojem dalších neurčitostí, a to tentokrát v měření.

Dalším předpokladem je znalost saturovaného toku S. Jeho teoretická hodnota je určena dopravním návrhem komunikace a považuje se za stálou, i když se může v čase trochu měnit. Saturovaný tok popisuje ideální průjezd vozidel, který je stanoven za předpokladu „průměrného“ vozidla a „průměrného“ řidiče. Skutečná hodnota saturovaného toku je odlišná od teoretické a závisí na projíždějících řidičích a vozidlech, a proto je třeba ji vždy znovu určit nebo považovat za neznámý parametr a identifikovat ji.

3.3 Model obsazenosti
Počítání délek kolon z příjezdů a odjezdů je velmi prosté, jsou-li splněny všechny předpoklady znalosti systému. V ostatních případech je třeba hledat další vztahy mezi měřenými veličinami a délkou kolon. Je možné použít vztah ve tvaru

Ot = κξt + λ          (3)

kde Ot je obsazenost v čase t (%), κ, λ jsou parametry modelu (3), které lze přibližně určit podle krajních bodů popisované přímky, spíše se však počítá s jejich průběžnou identifikací.

Obr. 1.

Obr. 1. Vztah kolona-obsazenost a jeho aproximace

Ukázka skutečného vztahu kolona-obsazenost z praxe a jeho aproximace přímkou jsou uvedeny na obr. 1.

3.4 Model ramene křižovatky
Jestliže se zmíněné dva modely (kolony (1) a obsazenosti (3)) spojí, vytvoří se model ramene křižovatky uvažované podle obr 2.

V rameni se formuje kolona o délce ξt. Stavový model se napíše pro stav xt = [ξt, Ot]T, který je sestaven z veličin délka kolony a vstupní obsazenost, modelovaných pomocnými modely (1) a (3). Tvar stavové rovnice modelu je:

Vztah 4.

Výstupní rovnice modelu se bude psát pro výjezd z křižovatky. pro jednoduchost zápisu bude uvažována situace, kdy vozidla v křižovatce mohou projíždět pouze rovně (jinak by bylo nužné výjezd počítat jako součet výjezdů ze všech ramen křižovatky, vážený poměry odbočení). Tento výjezd na konci sledované periody ηt+1 je roven tomu, co projelo na zelenou, tedy

ηt+1 = Szt = -(ξt+1 - ξt) + It          (5)

Předcházející délka kolony ξt se nahradí jejím bodovým odhadem ^ξt a výstupy yt+1 = [ηt+1, Ot+1]T je

Vztah 6.

Komentář k modelu:

  • První rovnice stavového modelu je bilance příjezdů a odjezdů vozidel v koloně podle (1). První rovnice výstupního modelu vyjadřuje výjezd z kolony (5) s dosazeným modelem kolony (1).

  • Druhá rovnice stavového modelu je model obsazenosti (3), do kterého je opět dosazen model kolony (1), který přepočítává délku kolony ξt+1 na její minulou hodnotu ξt. Druhá rovnice výstupního modelu je pouhá identita pro obsazenost, která říká, že druhá složka měřeného výstupu je přímo rovna druhé složce stavu.

Obr. 2.

Obr. 2. Rameno křižovatky

Uvedený model popisuje situaci, kdy ve sledovaném rameni nestačí během zelené projet všechna vozidla. V případě, kdy se kolona vytváří pouze na červenou, bude v modelu místo rovnice (1) vystupovat rovnice (2). Existenci nebo neexistenci kolony lze na konci zelené zjišťovat buď teoretickým odhadem podle bilance vjezdu, současné kolony a teoretického saturovaného toku, nebo měřením, tedy detektorem před vodorovnou dopravní značkou „příčná čára souvislá“, která označuje hranici křižovatky.

3.5 Model mikrooblasti
Model ramene křižovatky, který byl uveden v předchozím odstavci, je stavební jednotkou pro vytváření modelu křižovatky v mikrooblasti. Vstupem může být buď měřená intenzita, jestliže v rameni existuje strategický detektor, nebo vypočítaná intenzita, určená všemi toky, které do příslušného ramene vtékají. Tyto toky lze určit z výjezdů odpovídajících sousedních ramen, násobených příslušnými odbočovacími poměry. Tak lze vytvořit odpovídající stavový model mikrooblasti ve tvaru

xt+1 = Axt + But + F + wt          (7)

yt = Cxt + G + vt          (8)

kde matice A, B, C, F, G jsou obecně časově proměnné, protože obsahují veličiny závislé na čase, a musejí být konstruovány pro každý časový okamžik znova, a wt a vt jsou šumy, které zatím nelze uvažovat jinak než jako normální a které shrnují všechny neurčitosti modelu.

3.6 Komplikace při modelování
Dosud naznačený postup odvození modelu mikrooblasti spoléhá na ideální podmínky – všechno, co je třeba měřit, je správně měřeno a všechno, co je třeba znát, je známé a v čase neproměnné. To se týká především měření vstupních intenzit ve všech ramenech mikrooblasti a přesné znalosti parametrů modelu (tj. saturovaných toků, odbočovacích poměrů a parametrů κ a λ z regrese vztahu kolona-obsazenost (3)). Očekávat splnění všech těchto předpokladů v reálné mikrooblasti je nerealistické. Jediný způsob, jak tento problém řešit, je tyto parametry průběžně odhadovat. To ale znamená současný odhad stavu i parametrů modelu, což ovšem vede k nelineární úloze. Takový přechod však znamená velký skok na nejistou půdu.

Podívejme se proto podrobněji alespoň na několik základních předpokladů modelu a důvody jejich nereálnosti. Zaprvé jde o měření vstupních intenzit. Měřicí detektory, které dodávají hodnoty intenzit a obsazeností dopravního proudu, se zpravidla umísťují jen v ramenech řízených křižovatek. Vedlejší silnice detektory obvykle vybaveny nejsou, a nelze tak získat informaci o tom, kolik vozidel z nich vjíždí nebo vyjíždí do měřených ramen. Tyto toky působí jako porucha přičítaná k měřeným údajům. Přitom uvedené poruchy mohou být značně velké a proměnné – vezměme např. příjezd k parkovišti velkého obchodního domu.

Zadruhé je tu otázka detektorů. Detektory jsou umístěny přímo u podélné souvislé čáry (výzvové detektory) nebo ve vzdálenosti přibližně 30 metrů od ní (vzdálené detektory). Jestliže to možnosti dovolí, je možné instalovat detektory ve vzdálenosti 70 a více metrů (strategické detektory). Pro naše použití jsou třeba výhradně strategické detektory. Jenom ty měří množství vozidel přijíždějících do kolony, a to ještě za předpokladu, že konec kolony na ně nezasahuje – tzn. že opravdu měří příjezd do kolony, a nikoliv pohyb vozidel v koloně. Předchozí dva typy detektorů jsou téměř vždy ovlivněny pohybem vozidel v koloně.

Zatřetí je tu znalost parametrů. Hodnoty potřebných parametrů jsou dány v dopravním návrhu mikrooblasti. Tento dopravní návrh je sice velmi důkladný a opírá se o rozsáhlá měření v mikrooblasti, může být ale vzhledem k trvalému vývoji mikrooblasti méně nebo více zastaralý, a tedy nepřesný. Navíc vždy uvádí pouze teoretické nebo průměrné hodnoty těchto parametrů (saturovaný tok nebo poměry odbočení).

Vedle úplné neznalosti nebo nepřesné znalosti parametrů existuje ještě další problém: neproměnnost parametrů. Některé parametry jsou časově proměnné – konkrétním příkladem jsou odbočovací poměry. Důvod je prostý: ráno jezdí lidé jinam než odpoledne nebo večer. Kdyby existoval jenom konečný počet variant pro hodnoty těchto proměnných parametrů a jednotlivé varianty by mezi sebou přecházely dostatečně rychle, bylo by možné pamatovat několik sad parametrů a ty mezi sebou přepínat. Jsou-li změny náhodné, nezbývá než je průběžně identifikovat.

Dalším problémem jsou normální šumy. Výpočetní postupy, které bylo třeba využít pro odhad, se striktně opírají o „normalitu“. Avšak při použití normálních šumů v modelu (viz např. (7)) lze říci, že odchylka v odhadu kolony může být jak kladná, tak i záporná. To je ale pravda jen v případě, kdy je kolona dostatečně dlouhá. Bude-li délka kolony blízká nule, mohou záporné odchylky (realizace normálního šumu) dávat záporné délky kolon. A to je nesmysl. Přímá (a poněkud hrubá) cesta, jak se zbavit záporných kolon, je zaokrouhlovat vše záporné na nulu. Protože je ale používán dynamický model (závislost xt+1 na xt), je zaokrouhlení vnější zásah, ze kterého je model „zmaten“. Dostane se xt+1, které z modelu nevzešlo. Důkladným řešením je proto použití šumů, které zachovávají nezápornost generovaných hodnot. Je to např. rovnoměrné nebo log-normální rozdělení. Odchod od normálního rozdělení však v nemalé míře komplikuje teorii odhadování, od které jsou požadovány algoritmy realizovatelné v praxi.

4. Odhad

Model, který byl právě zkonstruován, je určen pro syntézu řízení. Popisuje řízenou veličinu (délky kolon) v závislosti na řídicí veličině (poměr zelené). Dosazením modelu do kritéria řízení (vážený součet délek kolon) se vyjádří kritérium v závislosti na řídicí veličině. Následně bude kritérium optimalizováno, tj. budou hledány hodnoty řídicí veličiny tak, aby kritérium bylo minimální. Popravdě řečeno, tímto postupem se řídí tak, aby předpovědi z modelu byly optimální. Pouze tehdy, jestliže se model shoduje s realitou nebo jí alespoň dostatečně odpovídá, lze dosáhnout efektu blízkého tomu, jako by byl řízen samotný (reálný) proces popsaný modelem.

Z předchozích úvah je patrné, že pro cíl úlohy řízení je velmi důležitá co nejlepší shoda modelu s realitou. Ta se získá s využitím odhadu hodnot neznámých veličin modelu, přičemž odhadovací proces se provádí na základě porovnání odhadu hodnoty neznámé veličiny a informace získané z měřených dat.

V případě uváděného modelu je možné uvažovat neurčitost různého stupně.

Jestliže bude vybrána dostatečná přesnost parametrů modelu a připustí se pouze nepřesnosti v měření a další nepredikovatelné poruchy v modelu, objeví se úloha lineárního odhadu stavu xt+1 (viz model (7)). Tento předpoklad ale není právě to, o co se lze v praxi bez obav opírat. Vede však k časově nenáročným a spolehlivým algoritmům řízení modelu.

Naproti tomu, jestliže se připustí nepřesnosti v měření, např. způsobené existencí neměřených vjezdů, nepřesnosti nebo neznalosti hodnot některých parametrů, či dokonce jejich proměnlivost v čase, lze se setkat s problémem současného odhadu stavu a parametrů. To je problém nelineárního odhadování, jehož složitost oproti předchozím případům skokově narůstá. Zde neexistuje optimální analytické řešení a je třeba se uchylovat k aproximativním suboptimálním krokům, často s částečným numerickým řešením jednotlivých úloh. Řešení většinou vede k časově velmi náročným výpočtům a celková stabilita není automaticky zaručena. Ukazuje se ale, že pro realizaci dopravního řízení v praxi je třeba s tímto typem úlohy počítat.

V následujících odstavcích bude řečeno něco více k jednotlivým bodům.

4.1 Výpočet kolon z modelu
Pro přímý výpočet kolon v jednotlivých ramenech zcela postačí model (1). Je však třeba si uvědomit, že jde o model s integračním charakterem. Proto chyby vzniklé v průběhu výpočtu neodeznívají, ale naopak se kumulují. Jde-li o chyby zcela nahodilé (s nulovou střední hodnotou a nekorelované s odhadem délek kolon), mohou se kompenzovat.

Startovací bod pro kumulativní výpočet délky kolony je noc, kdy jsou kolony nulové. To je počáteční podmínka pro výpočet, kdy se všechny nasčítané chyby anulují a začíná se počítat znovu a přesně.

V tomto „restartu“ při prostém výpočtu délek kolon je určitá naděje na vylepšení této jednoduché metody odhadu a její přivedení k použitelnosti v praxi. Jde o to, zda lze najít takové restartovací (nebo korekční) body i přes den, popř. výpočet korigovat z určité další, externě získané informace.

Tady se nabízí možnost využít i jiné než strategické detektory, a to ne jako měřiče intenzity, ale jako indikátory konce kolony. Jestliže obsazenost na detektoru dosáhne určité maximální hodnoty, lze říci, že v tom okamžiku k měřícímu detektoru dosáhl konec kolony a překryl jej. V tom okamžiku je známa délku kolony a výpočet lze podle ní kalibrovat.

4.2 Kalmanův filtr
Jestliže nelze délky kolon přesně počítat z důvodu nepřesnosti měření a výskytu poruch, je třeba je odhadovat. V následujícím odstavci bude v hrubých rysech popsána metoda rekurzivního odhadování stavu při použití stavového modelu, která se podle svého autora nazývá Kalmanův filtr [3]. Tato metoda má dva hlavní kroky:

  • Predikce, při které se ze stavové rovnice modelu (7) předpovídá (tj. vypočítá za podmínky nulového šumu) budoucí hodnota stavu.

  • Filtrace, ve které se předpověděná hodnota z prvního kroku opravuje podle nově naměřených dat. Přesněji řečeno, z odhadu stavu se podle výstupní rovnice (8) určí předpověď výstupu ^yt .

Chyba predikce se potom získá jako rozdíl této předpovědi a skutečně naměřeného výstupu yt. Oprava stavu je pak úměrná této chybě, a to s koeficientem úměrnosti vypočteným pomocí průběžně odhadované kovariance odhadů stavu.

Kalmanův filtr tedy funguje ve zpětné vazbě a své odhady koriguje v souvislosti s průběžně měřenými daty. Pro jeho dobré korekční vlastnosti je však nutné správné nastavení kovariančních matic normálních šumů stavové a výstupní rovnice wt a vt modelu (7), (8). Tyto kovariance je třeba stanovit na základě apriorní informace o dopravní oblasti nebo na základě apriori změřených dat. Další možností je automatická konstrukce kovariančních matic pro tuto filtraci, což je ovšem úloha netriviální a usilovně se na ní pracuje [9].

4.3 Lokální nelineární filtry
Berou-li se v úvahu současně nepřesnost měření a neznalost či časová proměnnost některých parametrů, je třeba využít nelineární filtry. Tyto filtry obecně pracují se stavovým modelem (7), (8) v nelineárním tvaru a kromě stavu současně odhadují i parametry modelu. Pro zde uváděné účely se jako nejperspektivnější ukazuje metoda DD1 (Divided Difference Filter of the First Order, [5]). Tato metoda předpokládá stavový model v nelineárním tvaru s normálním šumem (zde ve skalárním tvaru):

xt+1 = g(xt, ut, θ) + wt

yt = h(xt, θ) + vt

a linearizuje jej rozvojem funkcí g a h pomocí absolutního a lineárního členu Taylorova rozvoje. Derivace funkcí g a h se nahrazuje centrálními diferencemi, čímž se vyhýbá nutnosti tyto funkce analyticky derivovat. S linearizovaným stavovým modelem se dále již analogicky sleduje postup Kalmanovské filtrace. Tato metoda je dostatečně jednoduchá, takže poskytuje výsledky v relativně velmi krátké době, a může tak být dobře použita pro odhad stavu v reálném čase.

Jedním z úskalí této metody je ale problém správného startu odhadovacího algoritmu. Je to otázka nejen správné volby kovariančních matic šumů modelu jako u lineární Kalmanovy filtrace, ale také správného nastavení počátečních hodnot neznámých parametrů (počáteční stav se opět volí nulový).

V případě nesprávného nastavení kovariančních matic tak může dojít ke kompenzaci mezi odhady stavu a odhady neznámých parametrů, popř. odhady mohou divergovat a vyvolat nestabilitu celého procesu odhadování. Zde, vedle velmi pečlivé konstrukce počátečních kovariancí šumů, bude nutné rovněž průběžně kontrolovat všechny odhady a korigiovat je podle předem vymezených přípustných intervalů jejich hodnot. Právě omezení parametrů se při již uskutečněných experimentech ukázalo jako velmi účinné. Odhadování takovým pomocným zásahem překoná určitou „informační krizi“ a dále již většinou pokračuje dobře.

4.4 Globální nelineární filtry
Druhým směrem se ve vývoji nelineárního odhadování vydávají globální filtry neboli vzorkovací metody, které jsou většinou založeny na metodách Monte Carlo [8], [1]. Odhadované proměnné jsou popsány jako náhodné veličiny pomocí svých podmíněných hustot pravděpodobností. Tyto hustoty, které vlivem nelinearity modelu nemají reprodukující se tvar, a proto nemohou být rozumně vyjádřeny analyticky, jsou popisovány prostřednictvím datových shluků. Tyto shluky jsou generovány z hustot právě s využitím metody Monte Carlo. Popsané odhadovací metody jsou robustní a mají potřebnou stabilitu odhadu, nejsou vázány na normalitu šumů a při dostatečném počtu vzorků může být dosaženo potřebné přesnosti bez ohledu na typ aproximace nelineární funkce. Jejich nevýhodou však je, že tak jako všechny postupy opřené o metodu Monte Carlo jsou velmi pomalé. Nelze je tedy použít pro odhad on-line.

Jako nejnadějnější z existujících nelineárních filtrů se jeví metoda nazývaná particle filters [10], která pracuje na principu více filtrů běžících paralelně vedle sebe. Pro odhad budoucího stavu např. současně pracuje sto Kalmanových filtrů s různým nastavením parametrů. V daném rozhodovacím kroku se dá přednost tomu z nich, který má nejlepší odhad vzhledem k naměřené hodnotě, tj. má nejmenší chybu predikce. Pro další krok se daných sto Kalmanových filtrů převzorkuje, a to s váhou úměrnou úspěšnosti odhadu.

Uvedená metoda tedy nepracuje ve dvou krocích, ale ve třech:

  • predikce, kdy se vytvoří nová sada vzorků reprezentující novou hustotu pravděpodobnosti,
  • korekce, kdy dochází k modifikaci vah jednotlivých vzorků (váha určuje, jak je která hodnota pravděpodobná),
  • převzorkování – „zahození“ vzorků s malou váhou a vytvoření nových v dané oblasti.

4.5 Předpokládané řešení
Jako možné řešení problematiky nelineárního odhadování se jeví použití vhodné kombinace lokálního a globálního nelineárního filtru. Lokální filtr by běžel v krátké periodě vzorkování dat, tedy v reálném vzorkovacím čase, a produkoval by své (lokální) odhady. Nad ním, v podstatně delší periodě, by běžel globální filtr a jeho výsledky, které by byly k dispozici vždy na konci dlouhé periody, by korigovaly nebo alespoň stabilizovaly výsledky lokálního filtru.

(dokončení v příštím čísle)