Aktuální vydání

celé číslo

07

2019

Řízení dopravy a budov

celé číslo

Řízení piezoelektrických motorů pro mikropolohování

Řízení piezoelektrických motorů pro mikropolohování

Článek stručně přibližuje návrh a implementaci řídicích algoritmů piezoelektrických pohonů určených pro velmi přesné nastavení polohy v malém rozsahu pohybů. Pozornost je v článku věnována dvěma speciálním typům lineárních piezoelektrických motorů, které zaručují poměrně velký rozsah pohybu (v řádu jednotek milimetrů) při velmi malém rozlišení (až v řádu desítek nanometrů). Řízení takového motoru spočívá v přivedení vhodně tvarovaného napětí, a proto bude v článku vysvětlen jeden perspektivní způsob návrhu i implementace vhodného tvarovače – řízení posicast. Cílem článku není podat úplný přehled současného stavu v oboru mikropolohování, ale spíše informovat českou odbornou veřejnost o současných výzkumných a vývojových aktivitách i kapacitách na pracovišti autorů, a nabídnout tak případnou spolupráci na aplikacích.

1. Úvod

Základní fyzikální princip, na kterém jsou postaveny piezoelektrické motory, je dobře znám již od konce 19. století. Zásluhu na tom mají bratři Curieovi: přivedením elektrického napětí (řádově ve stovkách voltů) na některé krystaly či keramické materiály lze dosáhnout jejich mechanické deformace. Taková deformace však obvykle činí pouhé zlomky celkového rozměru materiálu, typicky 0,1 %. Pro použití v praxi je to velmi málo. Vždyť pro vychýlení manipulátoru o 1 mm by byl zapotřebí piezoelektrický materiálu o rozměru 1 m! Pro použití v praxi je tedy důležité buď deformaci piezoelektrického materiálu mechanicky zesílit a nebo výsledný žádaný pohyb manipulátoru složit z několika malých kroků poskytnutých piezoelektrickým materiálem.

Obr. 1.

Obr. 1. Princip piezoelektrického motoru stick-slip
Obr. 2. Tříosý piezoelektrický polohovací stolek stick-slip pro TEM firmy Delong Instruments

Tento článek se věnuje dvěma metodám z druhé zmíněné kategorie. Takové motory lze považovat za jakési krokové piezoelektrické motory. Prvním typem jsou piezoelektrické motory typu stick-slip, které jsou postaveny na piezoelektrickém materiálu polarizovaném ve střihu a jako klíčový fyzikální jev využívají tření. Druhým typem jsou piezoelektrické motory typu push-pull, které umožňují realizovat pohyb v osách x i y včetně rotace v jediné vrstvě piezoelektrického materiálu.

2. Piezoelektrické pohony na principu stick-slip

Piezoelektrické motory typu stick-slip (přilnout-proklouznout) pracují na velmi vtipném principu, který jako jeden z mála inženýrských principů využívá tření jako hlavní a žádaný mechanismus (vždyť ve všech ostatních aplikacích je tření vždy nežádoucí). Snad nejlépe lze tento princip vysvětlit s použitím obr. 1. Prototyp zařízení vyvinutého na tomto principu brněnskou firmou Delong Instruments je na obr. 2. S lineárně rostoucím napětím přiloženým na piezoelektrický materiál polarizovaný do střihu se materiál deformuje a volně položený jezdec se pohybuje doprava. Obr. 2. Napětí pomalu roste až do velikosti několika set voltů, načež velmi strmě poklesne, a jezdec se tak pro svou setrvačnost nestačí vrátit a zůstane v nové pozici. Opakováním tohoto cyklu je možné dosáhnout vychýlení téměř libovolného rozsahu. Délka jednoho kroku bývá řádově 10 až 100 nm. Popisovaný motor lze tedy chápat jako krokový motor s uvedenou délkou kroku, avšak při použití přesného snímače polohy je možné jej provozovat mezi dvěma kroky jako běžný servomotor, a dosáhnout tak přesnosti omezené vlastně pouze použitým snímačem polohy.

Matematický model dynamiky takového systému lze popsat pomocí náhradního modelu na obr. 3. Více o modelování piezoelektrických modelů stick-slip lze najít v disertační práci Arvida Bergandera [1].

Obr. 3.

Obr. 3. Model pro matematický popis dynamiky systému stick-slip

Piezoelektrické motory typu stick-slip nepochybně mají velký potenciál, avšak z hlediska praxe vykazují dvě nepříjemná omezení. První spočívá v tom, že u tohoto motoru založeného na tření nebyla dosud uspokojivě vyřešena otázka životnosti a stálosti jeho parametrů [1]. Druhou nevýhodou je, že použití piezoelektrických materiálů polarizovaných ve střihu pro nastavení polohy v rovině x-y bylo již patentováno firmou Omicron pro využití v elektronové mikroskopii.

3. Řízení posicast piezoelektrických pohonů stick-slip

Návrh řízení motoru typu stick-slip se tedy zjevně redukuje na úlohu nalezení vhodných parametrů asymetrického pilového signálu a jeho implementace spočívá v nalezení vhodného obvodového zapojení. Zde je však možné narazit na několik úskalí. Zaprvé, i při velmi strmé sestupné hraně napětí, při kterém se piezoelektrický materiál vrací do své původní nedeformované polohy, zatímco jezdec by měl zůstat v nové poloze, ve skutečnosti dochází k nezanedbatelnému zpětnému stržení. Prokluz zkrátka není dokonalý. Zadruhé, celá mechanická konstrukce většinou vykazuje slabě tlumené rezonanční módy, které při jiné než naprosto špičkové sysrealizaci mechanického návrhu mohou dosahovat frekvence již okolo 1 000 Hz i méně. To však může výrazně omezovat dosažitelnou frekvenci „krokování“. Na obr. 4 jsou uvedeny průběhy naměřené laserovým interferometrem u přístroje z obr. 2.

Obr. 4.

Obr. 4. Odezva (poloha) jezdce piezoelektrického motoru stick-slip naměřená laserovým interferometrem

Druhý problém svědčí o důležitosti špičkového mechanického návrhu, zejména o minimalizaci jakýchkoliv vůlí v systému. Jestliže však nelze systém po mechanické stránce již dále vylepšit, je třeba oscilace eliminovat vhodnou modifikací (vstupního) řídicího signálu. Moderní teorie řízení zná několik různých procedur pro návrh předfiltrů, které minimalizují oscilace na výstupu systému, ty však nelze snadno použít v prezentované aplikační oblasti, a to z následujícího důvodu. Všechny běžné metody návrhu nabízejí předfiltr ve formátu přenosové funkce, neboli diferenciální či diferenční rovnice. Špičkové hodnoty řídicího asymetrického pilového napětí jsou na stovkách voltů. Přitom zátěž (piezo) má výrazně kapacitní charakter. Není vůbec jednoduché navrhnout a realizovat elektronický obvod, který bude generovat signál vzniklý po průchodu pilového signálu obecným dynamickým filtrem. Nabízí se však jedna zajímavá možnost, dosud v anglicky i česky psané odborné literatuře poněkud opomíjená – tzv. řízení posicast (obr. 5).

Obr. 5.

Obr. 5. Symbolické zapojení posicast předfiltru/regulátoru ke kmitavému systému; odezva regulátoru na skok v referenci je schodový signál

Tvarování vstupních signálů do dynamických systémů, které by zajistilo, že netlumené módy nebudou vybuzeny, bylo vždy pro výzkumníky v oboru automatického řízení výzvou. Již v roce 1957 na tuto výzvu odpověděl O. J. M. Smith, který navrhl řešení, které zaručovalo úplnou eliminaci oscilací po uplynutí minimálního času. Jde vlastně o variantu známého řízení dead-beat pro spojitý čas. Je zřejmé, že takového chování nelze dosáhnout pomocí lineárního systému popsaného běžnou přenosovou funkcí (lineárním, časově neproměnným, konečně dimenzionálním filtrem). Ve své práci [12] ukazuje, že pro systém druhého řádu bude takový regulátor tvořen paralelním spojením dvou kladných zesílení, jejichž součet je 1, přičemž v jedné větvi je ještě prosté dopravní zpoždění, jak ukazuje obr. 6. Jednotkový skok se po průchodu takovým filtrem, který Smith nazval posicast, transformuje na schodový signál.

Obr. 6.

Obr. 6. Struktura nejjednoduššího předfiltru/regulátoru/tvarovače typu posicast: paralelní spojení dvou zpožděných zesílení

Jakkoliv se může zdát taková struktura nepřirozená, opak je pravdou. Přesně takovou strukturu má nepochybně regulátor, který má na mysli obsluha portálového jeřábu, která se snaží dostat náklad z jednoho místa na druhé, jako na obr. 7.

Původní Smithova metoda, nabízející úplnou eliminaci zbytkových oscilací, nenalezla nikdy velké uplatnění, a to zejména pro její malou robustnost, tady velkou citlivost na nesoulad mezi matematickým modelem a skutečným systémem. Nový zájem o tuto strukturu regulátoru, avšak o jiné naladění koeficientů, lze vysledovat v pracích Singera, Seeringa a Singhouse z amerického MIT v 90. letech dvacátého století, např. v článcích [9], [10] či [11]. Své metody si dokonce nechali patentovat, což není v tomto oboru příliš běžné. Jiný přístup nabízejí i autoři tohoto článku v nedávné práci [6].

Obr. 7.

Obr. 7. Portálový jeřáb a strategie posicast pro přesun nákladu z jednoho místa do druhého bez překývnutí: nejdříve se plnou rychlostí urazí jen část dráhy, pak se počká na překývnutí nákladu a nakonec se přesun pomalu dokončí

Tvarování vstupního signálu s použitím tvarovače (regulátoru, předfiltru) posicast se jeví jako mimořádně výhodné pro řízení piezoelektrických pohonů. To dokazuje i skutečnost, že jeden z největších výrobců piezoelektrických mikropohonů – německá firma Physik Instrumente (PI) – platí za používání patentovaných algoritmů z MIT. Výhodou je především jednoduchá elektronická implementace takového tvarovače. Autoři tohoto článku prezentovali jedno možné zapojení v nedávno uveřejněném článku [13]. Takové zapojení přijímá vysokou kapacitu zátěže jako fakt, a generátor je tak navrhován jako generátor proudu.

4. Piezoelektrické pohony na principu push-pull

Konstruktéři piezoelektrických motorů postupně vytvořili množství variant krokových motorů. Jednou z nich jsou i motory MPA (monolithic piezoactuators) [3]), vyvinuté v laboratořích EPFL. Tyto motory se skládají ze tří prvků MPA (obr. 8). Substrát prvků MPA tvoří piezokeramický materiál polarizovaný ve svislém směru. Spodní strana keramiky je uzemněna. Na vrchní plochu substrátu jsou naneseny elektrody ve tvaru kruhu rozděleného na čtvrtiny. Do středu tohoto kruhu je vlepena safírová kulička, která funguje jako kontakt s pohybující se deskou motoru.

Obr. 8.

Obr. 8. Nahoře – akční člen MPA (vyvinuto na EPFL); vrchní strana, spodní strana a motiv nanesený na piezoelektrický substrát; dole – uspořádání prototypu lineárního motoru s MPA

Patentované uspořádání umožňuje motorům MPA pracovat jak na již popsaném principu stick-slip, tak na principu označovaném jako push-pull. V tomto režimu jsou na elektrody MPA přiváděny sinusové signály s fázovým posuvem 90°. Safírové kuličky se tak pohybují po elipse a opět v krocích posunují pohyblivou desku motoru. Situaci zachycuje obr. 9.

Režim push-pull zvýrazňuje přednosti piezoelektrických krokových motorů. V závislosti na amplitudě a frekvenci řídicích napětí dokáže motor s prvky MPA buď pohybovat zátěží vysokou rychlostí anebo generovat extrémně malé kroky, obojí na téměř libovolnou vzdálenost. Změřená závislost ustálené rychlosti na frekvenci řídicího napětí pro systém se zátěží 50 g je uvedena na obr. 10. Pro tento systém byla naměřena rychlost až 25 mm/s a kroky polohy od 4 nm. Nevýhodou oproti režimu stick-slip je snazší zatížitelnost – pro zátěž 400 g klesne nejvyšší ustálená rychlost na 3 mm/s.

Obr. 9.

Obr. 9. Vznik eliptického pohybu kontaktu akčních členů MPA; průběh řídicích napětí na elektrodách MPA a odpovídající deformace piezokeramiky; dole zachyceny odpovídající polohy safírové kuličky (kontaktu)

Pro svou funkci využívají popsané piezoelektrické motory tření na styčné ploše mezi akčním členem a pohyblivou deskou. Kromě uvedených výhod to znamená zvýšenou citlivost motoru na změny poměrů na styčné ploše. Vlivem nerovností povrchu pohyblivé desky, mikroskopických nečistot, změny zatížení, změny prostředí i opotřebení materiálu se mění parametry motoru, které významně zhoršují opakovatelnost jeho polohování. Řešením je nastavovat řídicí napětí motoru na základě informace o skutečné poloze pohyblivé desky, zavést zpětnou vazbu. Návrh řídicího algoritmu a jeho využití byly otestovány na prototypu lineárního motoru MPA s pohyblivou deskou o hmotnosti 50 g (obr. 8). V další části jsou stručně uvedeny získané výsledky, podrobný rozbor obsahuje [5].

5. Zpětnovazební řízení pohonů push-pull

Cílem zpětnovazební řízení motorů MPA je zaručit opakovatelnost pohybu při zachování hlavních předností tohoto typu motoru, tj. vysoké rychlosti a jemného rozlišení. Pro typické aplikace motorů MPA v mikrorobotice má požadovaný průběh pohybu motoru tvar posloupnosti krokových změn (setpoint tracking). Pro potřeby testování byla žádaná poloha dosahována pomocí skoků o velikosti 1 mm.

Frekvence řídicích napětí v řádu desítek kilohertzů neumožňují získávat bližší informace o poloze motoru v rámci jedné periody (kroku). Naopak, běžně dostupné bývá měření s periodou vzorkování 1 000 vzorků/s a pomalejší, kterému odpovídá až několik desítek kroků motoru. V této situaci je vhodné reprezentovat MPA jednoduchým modelem, který nepopisuje chování systému v každém okamžiku, ale pouze na konci každého kroku. Experimenty uskutečněné na lineárním prototypu vedly k popisu motoru ve tvaru

Obr. 16.

kde v(t), y(t) jsou rychlost, resp. poloha pohyblivé desky, a, b, F parametry modelu, u(t) amplituda řídicího napětí.

Obr. 10.

Obr. 10. Závislost ustálené rychlosti motoru s MPA na frekvenci řídicího napětí

Tento jednoduchý model lokálně popisuje chování systému dostatečně věrně (obr. 11). Při posunech na větší vzdálenosti (řádově od desítek mikronů) se ale parametry modelu z již zmíněných důvodů značně mění. Změny chování systému lze do zákona řízení promítnout buď tak, že bude odhadovat aktuální hodnoty parametrů modelu a přizpůsobovat tomu výpočet akčního zásahu, anebo návrhem jediného pevně popsaného regulátoru, který bude robustní proti změnám parametrů modelu. Pro řízení prototypového motoru byl zvolen robustní regulátor, který je díky své jednoduchosti atraktivnější pro průmyslové použití.

Výchozím bodem pro návrh regulátoru bylo časově optimální řízení, které pro uvedený model znamená přepínání mezi saturačními mezemi amplitudy řídicího napětí motoru. K řízení motoru lze kromě amplitudy vstupních napětí využít i změnu jejich frekvence. Frekvence řídicích napětí ale byla pevně nastavena na 42 kHz, aby bylo možné dosáhnout co největší rychlosti motoru (obr. 10). Přepínací křivka má tvar ([2])

Obr. 17.

kde e je regulační odchylka (změřené polohy od žádané). Je-li počáteční odchylka větší než ±400 µm, pohyblivá deska stačí akcelerovat na maximální rychlost a přepínací křivka degraduje na dva body ± 80 µm. To bylo klíčové pro volbu přepínací strategie, neboť nízká vzorkovací frekvence měřicího systému znemožnila dostatečně přesně odhadovat aktuální rychlost desky ze zašuměného měření její polohy.

Obr. 11.

Obr. 11. Ověření kvality modelu (2) porovnáním simulované (červeně) a změřené (modře) odezvy na zvolený vstupní signál (černě)

Problémy s neustálým přepínáním polarity řídicího napětí v okolí žádané polohy byly vyřešeny po vzoru [16] náhradou funkce signum v předpisu pro přepínání blokem s vysokým zesílením. Velikost zesílení byla zvolena tak, aby při přepínání zůstal akční zásah spojitý. Blok s vysokým zesílením ovládal frekvenci řídicího napětí, která se tak s klesající regulační odchylkou postupně snižovala až na 10 kHz při odchylce ±10 µm. Analýza chování systému s regulátorem PID ukázala, že pomocí derivační složky lze zkrátit dobu ustalování systému a zmenšit jeho ustálenou odchylku. Pro odchylky menší než 10 µm byl proto blok proporcionální regulace frekvence nahrazen regulátorem PD amplitudy řídicího napětí. Konstanty regulátoru byly nastaveny tak, aby přepínání mezi regulátorem P a PD probíhalo bez nárazů. Podrobnější rozbor volby okamžiků přepínání mezi jednotlivými regulátory a nastavení jejich konstant jsou uvedeny v [8] a v článku [15], týkajícím se řízení polohy pevných disků, který autorům posloužil jako inspirace.

Obr. 12.

Obr. 12. Typická odezva zpětnovazebního systému na skokové změny žádané polohy o 1 mm

Odezva systému s popsaným regulátorem na skokovou změnu žádané polohy o 1 mm trvala 100 až 140 ms (obr. 12). Doba ustálení byla pouze o 10 až 20 % delší než vypočítaná doba časově optimálního ovládání v otevřené smyčce. Regulátor zaručil vždy regulační odchylku menší než 50 nm, typicky se chyba pohybovala okolo 30 nm.

6. Kapacitní vyhodnocování polohy v rovině

Piezoelektrické krokové motory mají specifické požadavky na měření polohy. Vyžadují senzory odolné proti elektrickému rušení, schopné měřit polohu s velkým poměrem rozsahu a rozlišení. Jejich vzorkovací frekvence by měla dosahovat alespoň stovek hertzů, aby zbytečně nezpomalovaly zpětnovazební systém. Senzory by měly mít co nejmenší rozměry, zejména výšku (jednotky mm). Měřicí systém nesmí pro malé výrobní série znehodnotit jednu z výhod těchto motorů, jejich poměrně nízkou cenu.

Obr. 13.

Obr. 13. Testovací platforma vyvíjená v rámci výzkumného projektu Golem s naznačeným umístěním akčních členů (obdélníkové otvory) a prvků kapacitního senzoru (červeně)

Uvedeným požadavkům vyhovují optické nebo kapacitní senzory s periodicky se opakujícím vzorem. V rámci výzkumného projektu Golem náš kolektiv vyvíjí rozdílový kapacitní senzor s proměnnou plochou překrytí elektrod pro motory bez lineárního vedení. Tento senzor bude určen k měření polohy pohyblivé desky v rovině a zároveň jejího natočení okolo osy kolmé na tuto rovinu. Senzor bude umístěn spolu s prvky MPA na jediném substrátu. Tím se významně sníží prostorové požadavky senzoru a dosáhne se precizního zarovnání os jeho souřadného systému s osami akčních členů.

Obr. 14.

Obr. 14. Odezva bimorfního piezoelektrického stimulátoru na netvarovaný puls
Obr. 15. Odezva bimorfního piezoelektrického stimulátoru na puls tvarovaný tvarovačem posicast

Bylo navrženo uspořádání senzoru, které umožní současné měření všech tří údajů o poloze pohyblivé desky (obr. 13). Základem senzoru je prvek s periodicky se opakujícím rastrem elektrod na ploše dané rozsahem pohybu desky. Periodický prvek je doplněn menšími prvky rozmístěnými tak, aby společně poskytovaly informaci o natočení pohyblivé desky. Tvar prvků kapacitního senzoru byl optimalizován na základě simulací metodou konečných prvků. V současné době je připravován systém pro sběr a sjednocení údajů jednotlivých měřicích prvků.

7. Taktilní stimulátor pro biomedicínský výzkum

Výzkumná skupina velmi přesné robotiky na švýcarské EPFL (Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne) navrhuje a staví pro potřeby biomedicínského výzkumu velmi přesné taktilní stimulátory na bázi bimorfních piezoelektrických pohonů. Ve výzkumu jde zjednodušeně řečeno o to, že dlouhé a tenké piezoelektrické raménko je možné přiložením vysokého napětí deformovat do ohybu a stimulovat jím fousky laboratorních myší (a následně sledovat, jak na to reagují mozky myší). Obr. 15. Piezoelektrické raménko však na jakoukoliv skokovou změnu vstupního napětí reaguje velmi slabě tlumenými oscilacemi (obr. 14). To naprosto znemožňovalo použít stimulátor pro laboratorní experimenty, protože myš kmitající stimulátor zahlédla. Použitím pokročilých metod pro návrh regulátorů posicast bylo vstupní napětí tvarováno tak, aby slabě tlumené módy nebyly vybuzeny (obr. 15) a bylo umožněno použití navržených stimulátorů. Výsledky této spolupráce mezi dvěma pracovišti budou publikovány [14].

8. Poděkování

Práce vznikla v rámci řešení projektu MŠMT Centrum aplikované kybernetiky č. 1M0567 a evropského výzkumného projektu Golem: Bio-inspired Assembly Process for Mesoscale Products and Systems NMP4CT033211 (http://www.golem-project.eu). Část experimentální práce autoři vykonávali ve špičkových mikrorobotických laboratořích na švýcarské EPFL, pod vedením Dr. J.-M. Bregueta.

Zdeněk Hurák, Ondřej Holub, Martin Špiller

Literatura:
[1] BERGANDER , A.: Control, wear testing & integration of stick-slip micropositioning. [Disertační práce.] EPFL, č. 2843, 2003.
[2] BRYSON , A. E., Jr. – HO, Y. C.: Applied optimal control: optimization, estimation, and control. Waltham, MA: Blaisdell, 1969.
[3] CIMPRICH , T. – KÄGI , F. – DRIESEN, W. – FEREIRA , A. – BREGUET , J.-M.: Ultrasonic monolithic piezoelectric multi DOF actuators for mobile microrobots. In: Actuator 2006, 2006.
[4] COLCLOUGH , M. S.: A fast high-voltage amplifier for driving piezoelectric positioners. Review of Scientific Instruments, 2000, Vol. 71, n. 11, pp. 4323–4324.
[5] HOLUB , O. – CIMPRICH , T. – Fereira, A. – Hur ák, Z. – Breguet , J.-M.: Dynamical Modelling and Position Control of Ultrasonic Piezoelectric Positioning Stage. In: 2006 IEEE International Ultrasonics Symposium, 2006.
[6] HURÁK, Z. – HROMČÍK, M. – Špiler , M.: Minimization of l2 norm of the error signal in posicast input command shaping: a polynomial approach. Journal of Robust and Nonlinear Control, Wiley, [on-line], říjen 2006.
[7] LINDNER , D. K. – ZHU , M.: Comparison of linear and switching drive amplifiers for piezoelectric actuators. In: 43rd AIAA/ASME/ASCE/AHS/ASC Structures, Structural Dynamics, and Materials Conference, Denver, Colorado, Apr. 22–25, 2002.
[8] MAIN , J. A. – NEWTON , D. V. – Mas sengil , L. – Garcia , E.: Efficient power amplifiers for piezoelectric applications. Smart materials and Structures, 1996, Vol. 5, pp. 766–775.
[9] SINGER , N. C. – SEERING , W. P.: Preshaping Command Inputs to Reduce System Vibration. J. of Dynamic Systems, Measurement, and Control, 1990, Vol. 112, pp. 76–82.
[10] SINGER , N. C. – SEERING , W. P.: An Extension of Command Shaping Methods for Controlling Residual Vibrations Using Frequency Sampling. In: IEEE International Conference on Robotics and Automation, Nice, France, 1992, Vol. 1, pp. 800–805.
[11] SINGHOSE , W. – SEERING , W. P. – Singer, N. C.: Residual Vibration Reduction Using Vector Diagrams to Generate Shaped Inputs. J. Of Mechanical Design, 1994, Vol. 116, pp. 654–659.
[12] SMITH , O. J. M.: Posicast Control of Damped Oscillatory Systems. Proceedings of the IRE, 1957, Vol. 45, pp . 1249–1255.
[13] ŠPILLER , M. – HOLUB , O. – HURÁK, Z. – HONCŮ, J.: Input Command Shaping For a Stick-Slip Piezoelectric Micro Positioning Stage. In: Proceedings of International Control Conference (CD-ROM). University of Strathclyde, Glasgow, 2006.
[14] ŠPILLER , M. – KÄGI , F. – HURÁK, Z.: Input shaping for whisker stimulator. Zasláno na IEEE Multi-conference on Systems and Control (MSC), Singapore, říjen 2007.
[15] VENKATARAMANAN , V. – PENG , K. – CHEN , B.: Discrete-time composite nonlinear feedback control with an application in design of a hard disk drive servo system. In: IEEE Transactions on Control System Technology, 2003.
[16] WORKMAN, M. L.: Adaptive Proximate Time-Optimal Servomechanism. [Disertační práce.] Stanford University, Stanford, CA, 1987.

Zdeněk Hurák (*1974) je výzkumným pracovníkem v Centru aplikované kybernetiky na Fakultě elektrotechnické ČVUT v Praze. Výsledky jeho disertační práce z roku 2004 o optimálním řízení byly publikovány v prestižním časopise společnosti SIAM. Nyní pracuje na využití pokročilých metod návrhu řízení v mikrorobotice, vede čtyři disertační práce a přednáší o robustním a optimálním řízení na katedře řídicí techniky FEL ČVUT.

Ondřej Holub (*1981) je doktorandem na katedře řídicí techniky FEL ČVUT. Tématem jeho disertační práce je výpočetní návrh zpětnovazebních regulátorů pro použití s piezoelektrickými pohony. Součástí jeho práce je i návrh a realizace rozdílových kapacitních snímačů polohy a jejich zpětnovazební vyhodnocování.

Martin Špiller (*1978) je doktorandem na katedře řídicí techniky FEL ČVUT. Tématem jeho disertační práce je výpočetní návrh tvarovačů referenčního signálu pro použití s piezoelektrickými pohony. Jeho práce zahrnuje také samotnou realizaci elektronických obvodů pro generování vysokonapěťových asymetrických pilových napětí pro kapacitní zátěž.