Aktuální vydání

celé číslo

11

2018

SPS IPC Drives 2018

Elektrické, hydraulické a pneumatické pohony

celé číslo

Principy fyzikální podobnosti a modelování v identifikaci soustav

číslo 10/2004

Principy fyzikální podobnosti a modelování v identifikaci soustav

Článek přibližuje význam fyzikální podobnosti a fyzikálního modelování, mj. též pro identifikaci soustav. Po diskusi hlavních předností a nedostatků fyzikálního a matematického modelování se objasňují principy fyzikální podobnosti. Pozornost je věnována fyzikálním veličinám, jejich jednotkám a rozměrům. Popisuje se rozměrová analýza fyzikálních rovnic a formulace bezrozměrných argumentů jako proměnných rovnic bezrozměrných argumentů. Jsou odvozeny modelové zákony a podobnostní moduly, zprostředkující vztahy mezi veličinami modelu a originálu (díla). Vysvětluje se experimentální řešení rovnic bezrozměrných argumentů. Použití předložené metodiky je ilustrováno jednoduchými příklady.

Výsledky práce lze využít k racionální identifikaci řízených soustav v elektromechanických, pneumatických a hydraulických automatizačních systémech.

1. Úvod

Postupy založené na využití principů fyzikální podobnosti (díla základní povahy viz např. [1], [2] a [3], dále též [4]) umožňují úsporné a hodnověrné experimentální řešení technických problémů fyzikální povahy. Jde hlavně o navrhování fyzikálních modelů řešených zařízení a racionálního vyhodnocování nejen fyzikálních, ale i matematických modelů těchto zařízení, popř. jejich již vyrobených originálů.

Modelové řešení úkolů obvykle přichází v úvahu tehdy, je-li matematické odvození zadaných souvislostí příliš obtížné či nemožné nebo jedná-li se o předběžné seznámení se s chováním projektovaného složitého a drahého originálu – díla.

S rozvojem výpočetní techniky a se širokým zpřístupněním počítačů se výrazně rozšířily různé metody matematického modelování a simulace. V mnoha oborech, též v automatizační technice a elektrotechnice, ustoupilo, podle autorova názoru ne zcela opodstatněně, fyzikální modelování do pozadí. Vhodně volený fyzikální model totiž může s výhodami posloužit jako experimentálně ověřený podklad pro realizaci výsledku – pro stavbu díla (např. prototypu výrobku) a odvození případné výrobní řady, či pro jeho identifikaci.

Vyšetřování modelů obou druhů nebo experimentální ověřování vyrobených zařízení bývá, zejména při větším počtu sledovaných parametrů, pracné a zdlouhavé. Uplatněním zásad fyzikální podobnosti lze počet proměnných redukovat, u fyzikálních modelů je navíc možné vyloučit nebo alespoň omezit změny obtížně přestavitelných parametrů a práci tak významně zjednodušit a racionalizovat.

V předkládaném příspěvku se nejprve stručně komentuje povaha obou zmíněných podob modelování. Poté jsou objasněny základní souvislosti fyzikální podobnosti a ukázány přístupy k jejich uplatnění zejména ve fyzikálním a zčásti i matematickém modelování. Výklad je veden se zaměřením na oblast identifikace v praxi často se vyskytujících elektromechanických, pneumatických a hydraulických soustav a vysvětluje s tím související partie jinak značně složité a rozsáhlé teorie fyzikální podobnosti. V zájmu dobré srozumitelnosti jsou komplikovanější nebo méně obvyklé pojmy a skutečnosti na příslušných místech textu doplňovány názornými příklady.

Článek chce upozornit na jednu ze zajímavých možností, jak zkvalitnit a zproduktivnit některé činnosti při navrhování a ověřování soustav automatické regulace. Autor usiluje o takové podání, které by tuto problematiku, v automatizační technice méně běžnou, přiblížilo širšímu okruhu odborníků a dalších zájemců z praxe.

2. Poznámky k modelování

Matematickému modelování nelze upřít zejména flexibilitu, způsobilost pro sestavování komplexních modelů bez ohledu na média – nositele energie a informace – a výhodnost, pokud jde o generování širokého spektra dat v přehledných souborech. Dále, matematický model nevyžaduje materiál ani dílenskou práci, jeho softwarové pořízení namnoze vystačí s výrazně nižšími náklady pouze na práci programátorů a na amortizaci počítače a při jeho ověřování či výzkumu na něm se lze obejít bez často drahých a na zařízení a personál náročných laboratoří nebo zkušeben. Avšak, přes všechny své přednosti, matematický model zůstává pouhou abstrakcí, jež vyjadřuje matematickou reprezentaci řešeného problému. Ta spočívá ve formulaci jeho základních diferenciálních rovnic, které lze v případech síťové interpretovatelnosti, u uvažovaných soustav často možné, sestavit s pomocí abstraktního modelu z ideálních prvků (viz např. [5]). Míra vystihnutí skutečnosti zde ovšem závisí na míře podchycení existujících vlivů. To je dáno úrovní znalostí fyzikální povahy problému a stupněm dokonalosti matematického popisu působících jevů.

Fyzikální model obvykle postrádá výhody zmíněné v souvislosti s pořízením a vyšetřováním matematické verze. Jeho mimořádnou předností však je, že jde o fyzikální realitu, jež je vždy experimentálně ověřována za skutečných fyzikálních podmínek. Z nich některé mohou být známy pouze částečně či matematicky popsatelné pouze nedokonale nebo, v krajním případě, jsou jejich znalosti zcela nedostatečné.

Co se týče ověřování, je situace u obou typů modelů dosti podobná.

Vyhodnocení matematického i fyzikálního modelu zpravidla spočívá ve stanovení empirických funkčních vztahů závisle proměnné veličiny řešeného problému na nezávisle proměnných. Obvykle se snímá průběh závisle proměnné veličiny na vhodně volené nezávisle proměnné, přičemž ostatní nezávisle proměnné vystupují jako parametry měření. Nalezení příslušných souvislostí předpokládá prošetření funkčních závislostí v požadovaných intervalech hodnot všech nezávisle proměnných. To, jak již bylo zmíněno, může vést až na velmi velký počet potřebných měření, často generujících málo přehledné a obtížně zpracovatelné soubory dat. Obdobná úvaha se týká též ověřování již vyrobených zařízení.

Pro úplnost je třeba připomenout specifický, avšak z hlediska výhodnosti použití fyzikální podobnosti pouze zdánlivý (rovněž v předchozím naznačený) nedostatek fyzikálního modelu, a to, že při jeho experimentálním ověřování mohou být změny některých parametrů nesnadno uskutečnitelné nebo drahé, popř. v podmínkách dané laboratoře nebo zkušebny nemožné.

3. Principy fyzikální podobnosti

3.1 Fyzikální veličiny, jejich jednotky a rozměry
Jelikož se fyzikální podobnost opírá o rozměrovou analýzu fyzikálních rovnic, bude účelné připomenout některé skutečnosti týkající se fyzikálních veličin.

Každá fyzikální veličina (dále pouze veličina) se vyjadřuje součinem měrného čísla a jednotky. Měrné číslo udává kvantitu veličiny jako násobek její jednotky. Jednotka veličiny charakterizuje též její kvalitu.

Rozlišují se základní jednotky veličin, navzájem nezávislé, a jejich odvozené jednotky, které lze vyjádřit součiny a podíly základních jednotek. V dnes celosvětově zavedené soustavě jednotek SI (viz např. [6]) má každý z oborů fyziky, vyjma mechaniky, čtyři základní jednotky. Jsou jimi tři jednotky společné pro mechaniku i ostatní obory – jednotka délky metr, hmotnosti kilogram a času sekunda – a čtvrtá podle příslušného oboru fyziky – u elektřiny a magnetismu je to jednotka elektrického proudu ampér.

Základní jednotky, s výjimkou jednotky hmotnosti, jsou co do velikosti definovány na základě jistých, trvale dostupných a přesně reprodukovatelných fyzikálních jevů. Velikost jednotky hmotnosti je dána normálem, uloženým v Mezinárodním úřadu pro míry a váhy [6].

Jednotka jakékoliv veličiny vyjadřuje její speciální fyzikální rozměr (dále pouze speciální rozměr), kvantifikovatelný pomocí základních jednotek.

Není-li velikost libovolné jednotky kvantifikovatelná (tj. není vztažena ke zmíněným normálům jednotek), jde o jednotku obecnou, vyjadřující obecný fyzikální rozměr (dále pouze obecný rozměr) příslušné veličiny.

V soustavě SI budou základními obecnými jednotkami či základními obecnými rozměry v mechanice délka L, hmotnost M a čas T, pro elektřinu a magnetismus doplněné o elektrický proud I.

Vztahy mezi fyzikálními veličinami popisují fyzikální rovnice. Každá fyzikální rovnice (dále pouze rovnice) je rozměrově homogenní, tj. rozměr (speciální nebo obecný) levé strany musí být roven rozměru pravé strany.

Rovnice elektromechaniky, pneumatiky a hydrauliky jsou jedněmi z modifikací fyzikálních rovnic. Obsahují veličiny vyjádřitelné základními jednotkami m, kg, s, A či základními obecnými rozměry L, M, T, I. Rozměry veličin, často se vyskytujících ve zmíněných rovnicích, uvádí tab. 1.

Tab. 1. Speciální a základní obecné rozměry důležitých veličin z elektromechanických, pneumatických a hydraulických soustav

Název

Označení

Speciální rozměr

Základní obecný rozměr

činný odpor – rezistence

R

Ω (V·A–1)

L2·M·T–3·I–2

reaktance

X

Ω (V·A–1)

L2· M· T–3· I–2

impedance

Z

Ω (V·A–1)

L2·M·T–3·I–2

vlastní indukčnost

L

H (V·A–1·s)

L2·M·T–2·I–2

vzájemná indukčnost

M

H (V·A–1·s)

L2·M·T–2·I–2

kapacita

C

S·s (V–1·A·s)

L–2·M–1·T4·I2

napětí

U

V

L2·M·T–3·I–1

proud

I

A

I

       

torzní útlum

D

N·m·s·rad–1 (V·A·s2)

L2·M·T–2

moment setrvačnosti

J

kg·m2·rad–1 (V·A·m–2·s3)

L2·M

torzní elasticita

H

N–1·m–1·rad (V–1·A–1·s–1)

L–2·M–1·T2

moment síly

M

N·m (V·A·s)

L2·M·T–2

úhlová rychlost

Ω

s–1·rad

T–1

rychlost otáčení

n

s–1

T–1

úhlová dráha

Φ

rad

1

       

útlum

B

N·s·m–1 (V·A·m–2·s2)

M·T–1

hmotnost

M

kg (V·A·m–2·s3)

M

elasticita

E

N·m–1 (V–1·A–1·m2·s–1)

M–1·T–2

tažná síla

F

N (V·A·m–1·s)

L·M·T–2

rychlost

V

m·s–1

L·T–1

dráha

S, Y

m

L

       

frekvence

f

Hz (s–1)

T–1

účiník

cos φ

1

1

       

hydraulický odpor

RH

Pa·m–3·s (V·A·m–6·s2)

L–4·M·T

hustota

r

kg·m–3 (V·A·m–5·s3)

L–3·M

dynamická vazkost

n

N·m–2·s (V·A·m–3·s2)

L–1·M·T–1

tlak, rozdíl tlaku

p, Dp

Pa (V·A·m–3·s)

L–1·M·T–2

průtočné množství

Q

m3·s–1

L3·T–1

       

činný výkon

P

W (V·A)

L2·M·T–3

zdánlivý výkon

Q

VA (V·A)

L2·M·T–3

práce, energie

W

J (V·A·s)

L2·M·T–2·I–3

účinnost

η

1

1

3.2 Bezrozměrné argumenty
Teoreticky byl odvozen a experimentálně ověřen poznatek, že konkrétní fyzikální pochody nezávisejí na jednotlivých veličinách, nýbrž na jejich jistých, pro daný jev charakteristických skupinách. Jako příklad lze uvést Reynoldsovo číslo, dobře známé z mechaniky tekutin, či Eulerovo číslo, rozhodující pro určité stavy při proudění tekutin.

Zmíněné charakteristické skupiny veličin nějakého fyzikálního jevu (např. vyvozování točivého momentu elektromotoru) se naleznou tzv. rozměrovou analýzou obecné rovnice daného fyzikálního jevu. Ta vede na určitý, přesně stanovitelný počet zmíněných skupin, tvořených součiny a podíly zúčastněných veličin s různými exponenty a vyznačujících se tím, že jsou bezrozměrné – jejich rozměr je roven 1 (např. skupina U·C·I–1·t–1, složená z napětí U, kapacity C, proudu I a času t). Nazývají se bezrozměrné (či bezdimenzionální) argumenty daného fyzikálního jevu a jejich počet je vždy menší než počet zúčastněných veličin. Vztahy mezi těmito veličinami se bez újmy na jednoznačnosti nahradí vztahy mezi menším počtem bezrozměrných argumentů.

Bylo zjištěno, že bezrozměrné argumenty mají jednu zajímavou vlastnost, totiž že jejich hodnoty v konkrétních případech nikdy nevycházejí ani „příliš velké“, ani „příliš malé“. To může posloužit jako jedna z kontrol správnosti jejich odvozování nebo experimentálního vyšetřování.

3.3 Rozměrová analýza
Podstatu rozměrové analýzy, jejímž výsledkem je formulace bezrozměrných argumentů, lze ve stručnosti objasnit následovně.

Z rovnice sledovaného fyzikálního pochodu, v mnoha případech i pouhou logickou úvahou, se sestaví obecný vztah pro všechny veličiny A, B, C ... N, pochod jednoznačně popisující. Jde o n veličin, zpravidla o jednu závisle proměnnou (např. N) a ostatní nezávisle proměnné, které musí být skutečně nezávislými – nesmí se mezi nimi vyskytovat jakýkoliv vztah. V implicitním tvaru to bude

j(A, B, C... N) = 0          (1)

kde j je funkční znamení. S pomocí (1) je potom možné kvalitativně vyjádřit obecný bezrozměrný argument daného problému jako součin mocnin zúčastněných veličin

p = Aa·Bb·Cc... Nn          (2)

Odpovídá to skutečnosti, že v pravých stranách rovnic takové skupiny veličin (nezávisle proměnných) vystupují, přičemž rozměr každé z těchto skupin musí být roven rozměru veličiny (závisle proměnné) na levé straně (již zmíněná rozměrová homogenita fyzikálních rovnic).

Vztah (2) se přepíše do rozměrové rovnice speciálních rozměrů – jednotek jako

1 = [A]a·[B]b·[C]c... [N]n          (3)

(jelikož [p] = 1) a speciální rozměry v (3) se nahradí obecnými rozměry (v uvažovaných oblastech využití čtyřmi, viz tab. 1). Ty se umocní na exponenty a až n a exponenty se separují podle základů L, M, T a I.

Vychází

1 = Lf(a, b, c... n)·M g(a, b, c... n)·T h(a, b, c... n)·I k(a, b, c... n)          (4)

kde f, g, h a k jsou lineární funkce exponentů a až n.

Splnění (4) předpokládá anulování funkcí f až k, tedy

f, g, h a k(a, b, c... n) = 0          (5)

Tím je dána homogenní soustava čtyř lineárních rovnic s n neznámými a až n. Jsou-li tyto rovnice lineárně nezávislé (žádná není násobkem jiné), což často bývá splněno, vyhovuje jim (n – 4) lineárně nezávislých řešení, která se získají po (n – 4)krát opakované volbě hodnot (n – 4) přebytečných neznámých. Je možné volit libovolná, nejlépe malá celá čísla, kladná i záporná, včetně nuly. Volba nuly vyžaduje určitou opatrnost, nesmí způsobit vypadnutí některé z veličin podle (1).

Postupným dosazováním jednotlivých lineárně nezávislých řešení rovnic (5) do vztahu (2) se formulují jednotlivé argumenty z celkem (n – 4) bezrozměrných argumentů daného problému. Jeho rovnice veličin (1) byla bez újmy na jednoznačnosti popisu transformována do výrazu s bezrozměrnými argumenty

y (p1, p2, p3... pn - 4) = 0          (6a)

jichž je menší počet, avšak nejvýše o čtyři. Zde y označuje funkci. Ten z argumentů, který obsahuje závisle proměnnou veličinu z (1), je závisle proměnný (např. pn - 4), ostatní jsou nezávisle proměnné.

Příklad konkrétního tvaru bezrozměrného argumentu byl již ukázán v 3.2. Pro názornost budiž příklad zopakován uvedením pomyslného tvaru některého z bezrozměrných argumentů podle (6a) – např. p3. Lze si jej představit jako skupinu veličin, např. B, D, F a J z (1), v uspořádání např. B3·D·F–1/2·J-1 (nebo v jiném podobném), plynoucím z jednoho ze zde rovněž pomyslných lineárně nezávislých řešení soustavy (5).

Může se stát, že soustava (5) nemá všechny čtyři rovnice lineárně nezávislé. Tehdy počet jejich lineárně nezávislých řešení a tím i počet bezrozměrných argumentů daného problému není (n – 4), nýbrž narůstá na hodnotu (n – r), rovnou rozdílu počtu n proměnných a počtu r lineárně nezávislých rovnic. Například se stavem 4 > r = 3 se lze setkat u většiny případů elektromechanických obvodů nezahrnujících jednu ze složek fyzikální podobnosti – geometrickou podobnost. Výraz (6a) v obměněné obecnější podobě y´ potom bude

y´(p1, p2, p3... pn – r) = 0          (6b)

Aby řešení úlohy popsané vztahy (1) a (6) bylo určité, je třeba do (1) zadat (n – 1) nezávisle proměnných veličin, vedoucích v (6b) na (n – r – 1) nezávisle proměnných bezrozměrných argumentů.

K rozměrové analýze výrazu (1) postačuje uvažovat jen jeho redukovaný tvar, tj. tvar obsahující pouze všechny veličiny rozdílných rozměrů, klasifikované jako hlavní veličiny (nechť je jednou z nich např. B). Každá z ostatních veličin, jejíž rozměr odpovídá rozměru některé z hlavních veličin (ve zmiňovaném příkladě třeba B1 a B2), potom vytváří bezrozměrný argument buď jako skupinu veličin, formulovanou stejně jako bezrozměrný argument s příslušnou hlavní veličinou (tedy např. A2·C–1·B, A2·C–1·B1, A2·C–1·B2), nebo přímo jako poměr vztažený k této hlavní veličině (např. B1/B, B2/B). Pro experimentální vyšetřování modelů je výhodnější první způsob.

V zájmu lepší přehlednosti je účelné zařazovat do redukované obměny (1) jako hlavní i veličiny mající sice stejný rozměr, ale lišící se fyzikální kvalitou. Jako příklad poslouží moment síly a energie – obojí se základním obecným rozměrem L2·M·T–2, vlastní a vzájemná indukčnost – L2·M·T–2·I–2, činný odpor, reaktance a impedance – L2·M·T–3·I–2 apod.

Aby odvozené bezrozměrné argumenty měly nejvýhodnější tvar (např. pro experimentální ověřování), lze je upravovat libovolným násobením nebo dělením mezi sebou, popř. inverzí či umocňováním a odmocňováním. Žádná z těchto operací neovlivní jejich bezrozměrnost. Úpravami se však nesmí změnit jejich počet. Formulace optimálních tvarů do značné míry závisí na zkušenosti.

Funkce (1) se musí sestavit pouze z těch veličin, které sledovaný pochod v dané oblasti skutečně ovlivňují. Veličiny se zanedbatelným vlivem je vhodné vynechat. Jestliže některá veličina z (1) v průběhu rozměrové analýzy vypadne, znamená to, že předmětný jev na ní nezávisí – při formulaci (1) tedy došlo k nedopatření.

(dokončení v příštím čísle)

Ing. Ota Roubíček, DrSc.,
Mechatronika Praha

Inzerce zpět