Aktuální vydání

celé číslo

05

2019

komunikace a software pro snímače a akční členy

tlakoměry

celé číslo

Fyzikální podobnost v modelování a identifikaci napěťově řízených soustav

číslo 1/2005

Fyzikální podobnost v modelování a identifikaci napěťově řízených soustav

Uvádí se principiální schéma a reprezentace sledované soustavy. Za zjednodušení jsou rozvedeny vztahy fyzikální podobnosti soustavy, vycházející z obecné rovnice fyzikálních proměnných, transformované do obecné rovnice bezrozměrných argumentů. Objasňuje se optimální formulace těchto argumentů. Vysvětlují se modelové zákony a podobnostní moduly, ozřejmuje se jejich použití a je poukázáno na modelová omezení a na tendence výkonového exponování modelu veličinami v něm působícími. Naznačuje se způsob aplikace odvozených souvislostí a výklad ilustruje příklad z praxe.
Výsledky lze využít k modelování a identifikaci výkonové části napěťově řízených soustav s rotačními elektromotory obvyklých typů a jiných podobných objektů.

1. Úvod

Uplatnění principů fyzikální podobnosti umožňuje, jak bylo ukázáno v [1], racionální modelování a identifikaci soustav. Účelem předkládané práce je ukázat způsob aplikace poznatků z [1] v poměrně často se vyskytujícím případě výkonové části elektrického, napěťově řízeného servomechanismu s indukčním nebo stejnosměrným elektromotorem, kompletovaným s poháněným mechanismem na hřídeli. Cílem výkladu je upozornit na některé z možností využití uvedených principů a postupů v praxi.

Nejen pro názornost, ale také s ohledem na stav v početných provozech bude věnována pozornost soustavám, u nichž jsou pochody v elektrické části rychlejší (asi o řád nebo více) než v mechanické části. U elektromotorů lze potom v uspokojivé shodě se skutečností pominout dynamické vlastnosti přenosového kanálu „svorkové napětí – točivý moment„. To přispěje k výraznému zjednodušení reprezentace elektromotorů a tím i k přehlednosti postupu. Jeho pochopení usnadní používání popisované metodiky i v jiných, složitějších případech, např. s dynamickými modely elektromotorů (viz např. [2], [3] a [4]), s nelinearitami v obvodech, s vícemotorovými pohony apod.

2. Principiální schéma sledované soustavy

Sledovanou výkonovou strukturu je možné znázornit schématem na obr. 1. Soustava je určena k přeměně elektrické energie z rozvodné sítě v mechanickou energii otáčení poháněného zařízení. Jak již bylo naznačeno, uvažuje se o použití třífázového indukčního elektromotoru nebo stejnosměrného elektromotoru s cizím buzením (stálým proudem nebo permanentními magnety).

Obr. 1. Obr. 1. Principiální schéma sledované soustavy

K rozvodné síti s napětím efektivní velikosti U1 a frekvencí f1 je připojen vstupní výkonový obvod 1 (např. napěťový měnič, spouštěcí obvod apod.) se vstupním, v čase t proměnným efektivním proudem I1(t) a činnými odpory R1... Ri, indukčnostmi L1... Lj, vzájemnými indukčnostmi M1... Mk a kapacitami C1... Cl. Jejím výstupním napětím s nastavitelnou velikostí U2(t) a konstantní frekvencí f1 (síťovou) se napájí stator elektromotoru 2, vyvozujícího střední točivý moment Mac(t) = KM c [sm, s(t)]U22 u indukčního a Mdc(t) = KUU2 – Knn(t) u stejnosměrného elektromotoru. Zde jsou indexovaná K konstrukční konstanty uvažovaného elektromotoru, sm znamená skluz zvratu indukčního elektromotoru, s(t) jeho okamžitý skluz c, funkční znamení a n(t) okamžitou rychlost otáčení stejnosměrného elektromotoru.

Na hřídeli příslušného elektromotoru působí moment setrvačnosti J, torzní elasticita H (např. pružná spojka) a zatěžovací točivý moment Mz(t, n) (dále pouze zatěžovací moment) poháněného mechanismu, jehož okamžitá rychlost otáčení n(t) (pro jednoduchost označená jako výše) je sledována přímo (u stejnosměrného elektromotoru), popř. jako funkce skluzu (u indukčního elektromotoru – reprezentace se skluzem jako výstupní pohybovou veličinou vede na příznivější formulace).

Torzní útlum v soustavě je v dobré shodě se skutečností zanedbáván, neboť rozptyl energie zátěží je dominantní.

Výkonové obvody 3 indukčního elektromotoru s vinutou kotvou mohou být zapojeny též k rotoru (např. rotorový spouštěč, jednotka pro řízení rychlosti otáčení atd.) – jejich prvky jsou na obr. 1 odlišeny horním čárkovým indexem.

Pokud je součástí vstupního výkonového obvodu 1 (obr. 1) statický měnič, jsou jeho relevantními výkonovými obvodovými prvky pouze ty, které bezprostředně souvisejí s funkcí elektromotoru. Parametry obvodů soustavy z obr. 1 mohou být v obecném případě nelineární, s různou závislostí (např. rychlostně závislý moment setrvačnosti, polohově závislá torzní elasticita apod.).

Použitá jednoduchá reprezentace indukčního elektromotoru, kvalitativně opřená o obecný tvar známého Klosova vztahu (viz např. [3], [4]), předpokládá obvykle používané typy motoru s klecovým nebo kroužkovým rotorem.

3. Fyzikální podobnost ve sledované soustavě

3.1 Obecná rovnice zúčastněných fyzikálních veličin

Již na základě úvahy podle kap. 2 je možné přímo formulovat obecnou rovnici (1) zúčastněných veličin, jednoznačně popisujících daný elektromechanický pochod. Pro soustavu s indukčním elektromotorem lze psát

jac(Ri, Lj, Mk, Cl, J, H, KM, sm, U1, U2, I1, f1, Mz, t, s) = 0          (1a)

Prvních osm veličin jsou nezávisle proměnné parametry obvodů soustavy, dalších šest jsou v čase obvykle nezávisle proměnné veličiny a s bývá (obvykle) závisle proměnná. Podobně u struktury se stejnosměrným elektromotorem bude

jdc(Ri, Lj, Mk, Cl, J, H, KU, Kn, U1, U2, I1, f1, Mz, t, n) = 0          (1b)
kde obvyklou závisle proměnnou je n.

Jestliže se vstupní obvodová periferie motoru (obr. 1) skládá pouze z lineárních pasivních prvků (např. různé klasické spouštěcí nebo omezovací obvody apod.), odpadá v (1) proud I1, neboť ten je v tom případě již funkcí napětí U1 a U2 a frekvence f1. Pokud má soustava pouze rotorové obvody, bude U2 = U1.

Pro úplnost budiž poznamenáno, že uvedená klasická klasifikace proměnných v (1) není nikterak ortodoxní – záleží na povaze úlohy, která či které proměnné budou vyšetřovány jako závisle proměnné (např. při sledování rozběhů mohou být závisle proměnnými rychlost otáčení n, popř. n(s) i vstupní proud I1). Za takových okolností se (1a) nebo (1b) matematicky rozpadnou do dvou či více funkcí po jedné nezávisle proměnné.

Jelikož při daných KM a f1 konkrétního indukčního elektromotoru je sm v (1a) funkcí pouze činného odporu R21 fáze rotoru (přepočteného na stator [3], [4]), lze jím sm nahradit. Z (1) potom plynou redukované tvary, tj. tvary s veličinami pouze rozdílné fyzikální kvality

ac(R, L, M, C, J, H, KM, U, I, f, Mz, t, s) = 0          (2a)

dc(R, L, M, C, J, H, KU, Kn, U, I, f, Mz, t, n) = 0          (2b)

Pro jednoduchost byly vynechány indexy s číselným významem.

V (2) totiž jde o veličiny vybrané jako hlavní. Jsou jimi významné veličiny soustavy (např. nějaká důležitá indukčnost Lx z množiny indukčností L1... Lj – viz obr. 1, napětí U1 nebo U2 apod.), reprezentující jednotlivé kvality v dalších krocích a stávající se potom vztažnými pro všechny ostatní veličiny téže fyzikální kvality. Výběr je formální záležitostí, je věcí úvahy řešitele a nijak neovlivňuje další krok – stanovení bezrozměrných proměnných problému rozměrovou analýzou.

3.2 Obecná rovnice bezrozměrných argumentů

Rozměrová analýza [1] redukovaných vztahů (2a), popř. (2b), vede pro jejich n = 13, popř. 14 proměnných na soustavu čtyř homogenních lineárních rovnic exponentů čtyř obecných hlavních rozměrů (délky L, hmotnosti M, času T a proudu I – viz tab. 1 v [1]) těchto proměnných. Postup odvození rovnic, jejich řešení a z něj vyplývající formulace bezrozměrných argumentů jsou popsány v [1]. Uplatněním tohoto postupu se dospěje ke čtyřem množinám bezrozměrných argumentů podle tab. 1, přičemž:

Tab. 1. Bezrozměrné argumenty pro veličiny (hlavní) redukovaných rovnic (2) a zvolené referenční veličiny odpovídající (příštím) modelovým konstantám

Argument

Soustava s elektromotorem

Poznámka

indukčním

stejnosměrným

H ≠ 0

H = 0

H ≠ 0

H = 0

p1

KM f R

KU2 Kn–1 R

Argument s I odpadá u soustav se vstupním obvodem z pasivních prvků, argumant s f u čistě stejnosměrných struktur. Nedefinované argumenty jsou přespočetné.

p2

KM f 2 L

H–1(KU Kn–1)2 L

J –1 KU2 L

p3

KM f 2 M

H–1(KU Kn–1)2 M

J –1 KU2 M

p4

KM–1 C

(H KU2)–1 C

J –1 (KU–1 Kn)2 C

p5

H f 2 J

(J –1 KM)1/2 f –1 U

(H Kn2)–1 J

J KU Kn–2 U

p6

(H KM)1/2 U

(J KM)–1/2 f––2 I

H KU U

J (KU Kn)–1 I

p7

(H KM–1)1/2 f—1 I

(J f 2)–1 Mz

H KU–1 Kn I

J Kn–1 f

p8

H Mz

f t

H Kn f

J Kn–2 Mz

p9

f t

s

H Mz

J –1 Kn t

p10

s

není definován

(H Kn)–1 t

J Kn–1 n

p11

není definován

H Kn n

není definován

Referenční veličiny

H, KM,, f

J, KM, f

H, KU, Kn

J, KU, Kn

Odpovídají modelovým konstantám fyzikálního modelu

  • V odvozené soustavě rovnic exponentů je jedna z nich lineární kombinací jiné, takže existuje pouze r = 3 lineárně nezávislých tvarů, a tudíž činitel redukce [1] nebude (n – 4), nýbrž pouze (n – 3).

  • Před definitivní formulací (n – 3) bezrozměrných argumentů (s případnými dovolenými úpravami podle [1]) se z (2a) zvolí r = 3 veličiny jako referenční, neproměnné, které potom u modelu (viz odst. 3.4) budou modelovými konstantami. Z povahy problému plyne, že to bude frekvence f soustavy a dále, z důvodu pokud možno pohodlného experimentálního ověřování modelu, budou voleny stálé hodnoty momentové konstanty KM elektromotoru a torzní elasticity H.

  • Je uvažována jak pružná, tak tuhá vazba elektromotoru se zátěží – tj. H ą 0 a H = 0. Ve druhém případě musí být místo H zvolena z (2) jiná referenční veličina, kterou, s přihlédnutím k důvodu zmíněnému v předchozím bodě, zřejmě bude moment setrvačnosti J.

  • Záměrně nebyla jako referenční veličina soustavy se stejnosměrným elektromotorem volena frekvence f, což umožňuje použít odvozené vztahy i pro čistě stejnosměrné struktury bez střídavé vstupní síťové části.

Pro ty veličiny z (1), které nebyly označeny jako hlavní, se vytvoří bezrozměrné argumenty buď stejně jako pro hlavní veličiny stejné fyzikální kvality, nebo jako poměry vztažené k odpovídající hlavní veličině.

Úplnou obecnou rovnici bezrozměrných argumentů problému (1) jako celku lze potom při zohlednění tab. 1 souhrnně napsat jako

yn(p1, p2... pn, p(n + 1), p(n + 2)... ) = 0          (5)

kde p1 až pn značí bezrozměrné argumenty sestavené z hlavních veličin redukovaných výrazů (2) a v případě (2a) doplněné o tam citovaný skluz (takže index n = 10 u (2a), popř. 11 u (2b)), p(n + 1) a dále jsou bezrozměrné argumenty vytvořené ze zbývajících veličin vystupujících v (1) a index n se nahradí ac nebo dc podle příslušnosti k soustavě s indukčním, popř. stejnosměrným elektromotorem.

Výraz (5) je transformací vztahů (1) do bezrozměrné formy. Každý z argumentů v (5) je tvořen násobkem součinu skupiny referenčních veličin a vždy pouze jedné z nezávisle proměnných veličin – jeho řídící veličiny (nezávisle proměnné argumenty), nebo závisle proměnné veličiny (závisle proměnný argument) –, respektuje-li se klasická klasifikace veličin v (1) podle odst. 3.1. Zmíněná skladba nezávisle proměnných argumentů umožňuje změnit velikost jednoho z nich, aniž by se měnila velikost ostatních. Tato vlastnost je velmi výhodná pro experimentální postupy s použitím (5).

Řídící veličiny nezávisle proměnných bezrozměrných argumentů stojí v tab. 1 vždy na posledním místě součinů definujících každý z argumentů.

3.3 Modelové zákony a podobnostní moduly

Modelové zákony udávající vztah mezi veličinami modelu a originálu jsou dány rovností bezrozměrných argumentů modelu a originálu [1]. Pro hlavní veličiny z (2) a za podmínek podle tab. 1 uvádí tyto zákony tab. 2. Slouží k výpočtu veličin modelu soustavy na obr. 1.

Tab. 2. Modelové zákony (veličiny modelu jsou značeny horním indexem *)

Poměr

Soustava s elektromotorem

indukčním

stejnosměrným

H ≠ 0

H = 0

H ≠ 0

H = 0

R*/R

KMf/(KM* f*)

KU2Kn*/(KU*2Kn)

L*/L

KMf2/(KM* f * 2)

H*(KUKn*)2/[H(KU*Kn)2 ]

J*KU2/(JKU* 2)

M*/M

KMf 2/(KM* f*2)

H*(KUKn*)2/[H(KU*Kn)2 ]

J*KU2/(JKU* 2)

C*/C

KM*/KM

H*KU*2/(HKU2)

J*(KU*Kn)2/[J(KUKn*)2]

J*/J

Hf2/(H* f*2)

není stanoven

H*Kn* 2/(HKn2)

není stanoven

U*/U

(HKM)1/2/(H*KM*)1/2

(J* KM)1/2f */[(JKM*)1/2 f ]

HKU/(H*KU*)

JKUKn*2/(J*KU*Kn2)

I*/I

(HKM*)1/2f */[(H*KM)1/2f ]

(J*KM*)1/2f*2/[(JKM)1/2f 2]

HKU*Kn/(H*KUKn*)

JKU*Kn*/(J*KUKn)

f */f

není stanoven

           HKn/(H*Kn*)

JKn*/(J*Kn)

Mz*/Mz

H/H*

J*f*2/(Jf 2)

     H/H*

JKn*2/(J*Kn2)

t*/t

f/f *

           H*Kn*/(HKn)

J*Kn/(JKn*)

s*/s

1

není stanoven

n*/a

není stanoven

HKn/(H*Kn*)

JKn*/(J*Kn)

Modelové konstanty

H*, KM*, f*

J*, KM*, f*

H*, KU*, Kn*

J*, KU*, Kn*

Modelové zákony umožňují přepočítat veličiny z (1) (veličiny jednoznačně popisující jevy v soustavě podle obr. 1). Odvozené veličiny (např. výkony, ale též napětí nebo točivé momenty na jednotlivých prvcích apod.) lze přepočítávat pomocí podobnostních modulů [1] podle tab. 3, vyjádřených poměry referenčních veličin originálu a modelových konstant. Pro snadné přepočty z modelu na originál jsou podobnostní moduly definovány jako poměry l = L/L*, m = M/M*, t = T/T* a i = I/I* obecných hlavních rozměrů originálu k modelu. Přepočítací součinitelé častěji se vyskytujících odvozených veličin se naleznou v tab. 4, vyplývající z tab. 1 v [1].

Tab. 3. Podobnostní moduly (modelové konstanty jsou značeny horním indexem *)

Modul

Soustava s elektromotorem

indukčním

Stejnosměrným

H ≠ 0

H = 0

H ≠ 0

H = 0

l2 m

H* f 2 */(H f 2)

J/J*

HKn2/(H*Kn*2)

J/J*

t

f */ f

HKn /(H*Kn*)

JKn*/(J*Kn )

i

(H*KM)1/2 f /( HKM*)1/2 f *

(JKM)1/2 f 2/[(J*KM*)1/2 f 2*]

H*KUKn* /(HKU*Kn)

J*KUKn /(JKU* Kn*)

Tab. 4. Součinitele pro přepočty odvozených veličin z modelu na originál (veličiny modelu jsou značeny horním indexem *)

Veličiny

Poměr

Přepočítací součinitel

napětí

U/U*

l 2 mt –3 i –1

proudy

I/I*

i

frekvence

f/f*

t –1

činné, jalové, zdánlivé výkony

P/P*, Q/Q*, S/S*

l2 mt –3

práce, energie

W/W*

l2 mt –2

účiníky

cos j/cos j*

1

účinnosti

h/h*

1

momenty síly

M/M*

l 2 mt –2

rychlosti otáčení

n/n*

tt–1

V soustavě s indukčním elektromotorem platí souvislosti z tab. 2 a tab. 3 pouze při shodném součinu počtu m fází a počtu p pólových párů u originálu a modelu elektromotoru, tedy při mp = m*p*.

3.4 Modelová omezení

Modelové konstanty (viz tab. 2) není možné volit zcela libovolně. Jejich mezní hodnoty jsou dány požadavky na nepřekročení maximálního napětí, proudu a frekvence, popř. na nepoklesnutí pod minimální moment setrvačnosti na modelu, které odpovídají jmenovitým či jiným charakteristickým údajům rozhodující komponenty modelu, obvykle elektromotoru. Při zadaných parametrech originálu lze všechny tyto hodnoty formulovat jako poměrné, vztažené ke stejnojmenným veličinám originálu (obdobně jako je tomu u modelových zákonů v tab. 2). Označí-li se omezující poměrné maximální velikosti napětí, proudu, frekvence, zatěžovacího momentu a rychlosti otáčení (pouze v soustavě se stejnosměrným elektromotorem), popř. omezující poměrný minimální moment setrvačnosti na modelu, jako umax = U*max/U, imax = I*max/I, jmax = f*max/f, mmax = Mz*max/M a nmax = n*max/n, popř. jmin = J*min/J a mezní modelové konstanty jako J*lim, H*lim, f*lim, KM*lim, KU*lim a Kn*lim, lze s použitím hodnot poměrů J*/J, U*/U, I*/I, Mz*/M a n*/n z tab. 2 a pro přípustnou velikost f*max/f (u alternativ s H ą 0 též pro J*min/J) dospět ke vztahům podle tab. 5.

Tab. 5. Poměrné mezní velikosti modelových konstant, vyjádřené poměrnými maximálními a minimálními hodnotami rozhodujících veličin

Poměrná
mezní model. konstanta

Soustava s elektromotorem

Poznámka

indukčním

stejnosměrným

H ≠ 0

H = 0

H ≠ 0

H = 0

J*lim /J

 viz poznámku 1)

umax imax /jmax3

viz poznámku 2)

umax imaxmax3

Pro J* jako proměnnou rovněž platí

1) J*lim / J = umax imax /jmax3

2) J*lim /J = umax imax max3

přičemž dále platí

νmax = umax imax /mmax

H*lim /H

jmax / umax imax

není definována

[(umax imax)2 jmin]–1/3

není definována

KM* lim /KM

imax / umax jmax

nejsou definovány

f * lim /f

umax imax /mmax

 KU*lim /KU

nejsou definovány

(i max2 jmin /umax ] 1/3

Kn*lim /Kn

(u max i max jmin2) 1/3

Z rozboru souvislostí, vedoucích k relacím podle tab. 5, vyplývají možnosti snížení exponování modelu, tj. možnosti, jak zmenšit jeho původně stanovené maximální poměrné, a tedy, při daných parametrech originálu, i absolutní velikosti napětí U*max, proudu I*max, zatěžovacího momentu Mz*max a rychlosti otáčení n*max, popř. jeho požadovaný minimální poměrný či absolutní moment setrvačnosti J*min. Nejdůležitější závěry, vyplývající z funkčních závislostí poměrů U*/U, I*/I, Mz*/Mz a n*/n, popř. J*/J na modelových konstantách (tab. 2), jsou takovéto:

  • V soustavě s indukčním elektromotorem s pružnou mechanickou vazbou (H ą 0) klesají hodnoty U*max, I*max a J*min pozvolna a Mz*max rychleji s růstem torzní elasticity H* modelu, zatímco pokles frekvence f* zde vede k rychlému nárůstu J*min. Je-li zmíněná vazba tuhá (H = 0), lze mírného poklesu U*max, I*max a rychlejšího zmenšování M*max docílit redukcí momentu setrvačnosti J* (zde jedné z modelových konstant). Vliv zmenšování f* na J*min bude obdobný jako při H ą 0.

  • U systému se stejnosměrným elektromotorem s pružnou mechanickou vazbou (H ą 0) je pokles U*max a I*max s růstem H* rychlejší než u soustavy s indukčním elektromotorem, pokles Mz*max podobný a ubývání n*max citelné, avšak J*min se výrazně zvětšuje. Tuhá mechanická vazba (H = 0) přináší s klesajícím součinitelem Kn* rychlé zmenšování U*max a Mz*max a o něco pomalejší úbytek I*max a n*max. Výrazný je pokles citovaných maximálních hodnot s narůstajícím J*.

3.5 Výkonová redukce modelu

Redukce zdánlivého, činného i jalového výkonu modelu proti originálu vyplývá z přepočtu pomocí podobnostních modulů podle tab. 4. S přihlédnutím k tab. 3 je zřejmé, že tato redukce poroste:

  • u soustavy s indukčním elektromotorem při H ą 0 se zvětšováním H* a s poklesem f*, zatímco v případě H = 0 se zmenšováním J* i f*,

  • v systému stejnosměrného elektromotoru intenzivně s nárůstem H*, o něco mírněji při růstu f*, a je-li H = 0, velmi rychle se zvětšováním J* a ještě intenzivněji s ubýváním Kn.

4. Způsob uplatnění odvozených výsledků

Výsledky shrnuté v tab. 1 až tab. 5 poslouží jednak při ověření funkce připravovaného nebo projektovaného zařízení na fyzikálním modelu, jednak při identifikaci již existujícího zařízení nebo jeho modelu experimentálním řešením rovnice (5). Postup v obou případech přibližuje [1].

5. Přístup k modelování a identifikaci konkrétní soustavy

Ke zdůraznění technicko-ekonomického přínosu výkonovou redukcí úlohy byla pro příklad vybrána soustava s velkým indukčním elektromotorem. Jednoduchá formulace příkladu zpřehledňuje konkretizaci zásad použití popsané metodiky.

Obr. 2. Obr. 2. Soustava pro příklad

Při automatizaci transportního zařízení vznikl mj. požadavek na návrh a ověření co nejspolehlivějšího plynulého rozběhu. Vypracovaná studie (obr. 2) to řešila přímým připojením pohonného třífázového indukčního elektromotoru 1 jmenovitého výkonu 1 000 kW na napájecí síť se sdruženým napětím U1s = 6 kV a frekvencí f1 = 50 Hz, přičemž rozběhové poměry řídí bezkontaktní rotorový spouštěcí obvod, tvořený paralelní skupinou činného odporu R´= 0,34 W a indukčnosti L´ = 17,1 mH v každé fázi. Poháněné transportní zařízení 3 může být za rozběhu do jmenovitého zatížení krátkodobě přetěžováno maximálním zatěžovacím momentem až Mzm = 24,25 kN·m. Je třeba ověřit a identifikovat časové průběhy rychlosti otáčení (prostřednictvím skluzu s(t)) a rozběhového proudu i1(t) a popř. optimalizovat prvky spouštěcího obvodu nebo některý z mechanických parametrů soustavy.

Ostatní relevantní parametry soustavy jsou tyto:

Elektromotor má jmenovité fázové napětí a jmenovitý proud fáze U1 = 3,46 kV a I1 = 132 A, momentová konstanta KM = 4,16·10–3 s/W, skluz zvratu sm = 0,057, činný odpor fáze statoru R1 = 0,435 W, přepočítaný činný odpor fáze rotoru R21 = 0,52 W, počet fází a pólových párů m = 3 a p = 4.

Celé soustrojí má moment setrvačnosti a torzní elasticitu J = 1 556 kg·m2 a H = 2,5·10–6 rad/N·m.

Obecná rovnice (explicitní) fyzikálních veličin soustavy pro jednotlivé závisle proměnné, viz (1a) s(t) nebo i(t) bude js nebo ji(R´, L´, J, H, KM, sm, U1, f1, Mzm, t).

Redukovaný tvar (implicitní) předchozí rovnice, viz (2a), je j´(R, L, J, H, KM, U, I, f, Mzm, t, s) = 0 (zde n = 11, r = 3, n – r = 8).

Referenční veličiny originálu potom jsou (viz tab. 1): H = 2,5·10–6 rad/N·m, KM = 4,16·10–3 s/W, f1 = 50 Hz.

Bezrozměrné argumenty z veličin redukovaného tvaru, vypočítané pro dané referenční veličiny podle tab. 1: p1 = 0,208 R, p2 = 10,42 L, p5 = 6,25·10–3 J, p6 = 1,02·10–4 U, p7 = 4,9·10–4 I, p8 = 2,5·10–6 Mz, p9 = 50 t, p10 = s.

Obecná rovnice (explicitní) bezrozměrných argumentů soustavy ve struktuře podle obr. 2 pro jednotlivé nezávisle proměnné – viz (5) je s(p9) = ys(0,208 R´, 10,42 L´, 6,25·10–3 J, 0,208 R21, 1,02·10–4 U, 2,5·10–6 Mz, 50 t), 4,9·10–4 i(p9) = yi(0,208 R´... 50 t).

Předchozí rovnice lze kvantifikovat experimentálním řešením – viz kap. 4 a [1] – cestou naměření závislostí s(p9), tj. s = cs(p9) a 4,9·10–4i(p9), tj. 4,9·10–4i = ci(p5) (zde c je funkční znamení) s proměnnými parametry 0,208 R´, 10,42 L´... 50 t. Hledané časové průběhy se získají – viz [1] – vyčíslením pořadnic (funkčních hodnot), a to pro s přímo jako s = ys, pro i jako i = yi/4,9·10–4 (když ys a yi jsou hodnoty ys a yi při daných parametrech), a vyčíslením pořadnic odpovídajících úseček (na souřadnici času) t = p5/50.

Ke stavbě modelu soustavy z obr. 2 se použije třífázový indukční elektromotor jmenovitého výkonu pouze 22 kW. Jeho další parametry v analogické sestavě a s obdobným označením jako u originálu (od originálu je odlišuje horní index ") jsou: U1s" = 500 V, f1"= 50 Hz, U1" = 290 V, I1" = 33 A, KM" = 0,027 s/W, sm" = 0,146, R1" = 0,14 W, R21"= 0,19 W, m" = 3, p" = 4. Moment zvratu elektromotoru je Mm" = 1,115 kN·m, torzní elasticita jeho spojení se zátěží H" = 1,3·10–4 rad/N·m a moment setrvačnosti rotoru J" = 1,12 kg·m2.

Modelové veličiny budou dále značeny horním indexem * (viz odst. 3.3). Vypočítají se po úpravě impedance fáze modelu na rovnost skluzu zvratu s originálem (souvislosti viz např. v [3], [4]).

Modelová momentová konstanta a modelový moment zvratu budou KM* = 1,16·10–2 s/W a Mm* = 485 N·m.

Omezující poměrné veličiny – viz odst. 3.4, se volí umax (tj. U*max/U) jako U1"/U1 = 0,083, podobně imax jako I1"/I1 = 0,25, mmax jako Mm"/Mzm = 0,02 (viz poznámku na konci této kapitoly) a jmax = 1.

Mezní modelové konstanty, vypočítané pro daná omezení podle tab. 5, jsou jlim = 1,04, H*lim = 1,25·10–4 rad/N·m, KM*lim = 1,2·10–2 s/W, f1*lim = 52,3 Hz, přičemž J*lim = 28,4 kg·m2.

Modelové konstanty – viz tab. 2: H* = 1,3·10–4 rad/N·m, KM* = 1,16·10–2 s/W, f1* = 50 Hz (hodnoty jsou přibližně rovné mezním modelovým konstantám, což je příznivé).

Veličiny modelu – vypočítané pro dané modelové konstanty podle tab. 2:

  • U* = 0,084 U, z toho U1* = 290 V (= U1" – příznivé),
  • R* = 0,364 R, z toho R21* = 0,19 (= R21" – kontrola) a R´* = 0,124 W,
  • L* = 0,364 L, z toho L´= 6,24 mH,
  • J* = 0,0192 J, z toho J* = 29,9·m2 (> J", » J*lim – příznivé),
  • I* = 0,23 I, z toho I1* = 30,3 A (» I1" – příznivé)
  • Mz* = 0,019 2 Mz, z toho Mzm* = 465,6 N·m (< Mm*, příznivé),
  • t* = t.

Podobnostní moduly, vypočítané pro dané modelové konstanty podle tab. 3, jsou l2m = 52, t = 1, i = 4,35 (= 1/(I*/I) = 1/0,23 – kontrola).

6. Závěr

Předložená práce, jejíž podklady byly věcně objasněny a vysvětleny v [1], ilustrovala možnosti a postup využití fyzikální podobnosti k modelování a identifikaci výkonové části dvou soustav, častých v průmyslové praxi. Jde o soustavy s indukčním a se stejnosměrným elektromotorem. Při tom platí omezení podle úvodu a podle kap. 2.

Diskutovaná tematika byla podána se snahou přiblížit v dané oblasti způsob uplatnění principů poměrně složité teorie fyzikální podobnosti širšímu okruhu čtenářů, zabývajících se zejména vývojem, projektováním, navrhováním, zkoušením a provozem servomechanismů, automatizovaných pohonů a jiných automatizovaných systémů mechatronické povahy [5]. Výsledky práce lze využít při fyzikálním modelování zmíněných soustav i k racionalizaci jejich experimentálního vyšetřování a ověřování. Ukázaný postup tedy čtenářům usnadní použití popsané metodiky k identifikaci i v jiných podobných, strukturálně složitějších nebo dynamicky náročnějších soustavách průmyslové automatizace.

Literatura:
[1] ROUBÍČEK, O.: Principy fyzikální podobnosti a modelování v identifikaci soustav. Automa, 2004, 10, č. 10, s. 37–39 a č. 12, str. 48.
[2] MĚŘIČKA, J. – ZOUBEK, Z.: Obecná teorie elektrického stroje. SNTL, Praha, 1973.
[3] PAVELKA, J. – ČEŘOVSKÝ, Z. – JAVŮREK, J.: Elektrické pohony. Vydavatelství ČVUT, Praha, 1997.
[4] MĚŘIČKA, J. – HAMATA, V. – VOŽENÍLEK, J.: Elektrické stroje. Vydavatelství ČVUT, Praha, 1993.
[5] ROUBÍČEK, O.: Mechatronika a elektrické pohony. Ročenka ELEKTRO 2003, s. 214–229, FCC Public, Praha, 2003.

Ing. Ota Roubíček DrSc.,
Mechatronika Praha